一注结构基础考试笔记

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1、上午篇：一、《高等数学》共24题1.1函数与极限1、数列极限的定义，Ixn-a

2、

3、f(x)-A

4、

5、2)如果极限为A，贝IJ必宥丨f(x)丨(局部宥界性)。3)函数与极限同号(保号性)。4)如果极限limf(x)存在，｛xn｝为f(x)定义域收敛于X。的数列，则｛f(xn)｝必收敛，且limf(xn)=limf(x)o5、无穷小与无穷大1)极限为0是无穷小；丨f(x)丨〉M是无穷大。无穷小与无穷大互为倒数。2)无穷小的运算，宥限个无穷小的和、积为无穷小；常数与无穷小的积为无穷小；宥界函数与无穷小的积为无穷小；6、极限的运算法则，1)函数(数列)和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商；2)lim[cf(x)]=c.li

6、mf(x)；3)lim[f(x)]n=[limf(x)]n04)limf(x)=a,limg(x)=b，如果limf(x)>limg(x),则a〉b。5)复合函数，limg(x)=u(),limf(u)=A,u=g(x),贝!Jlimx，x0f[g(x)]=limu，u0f(u)=Ao7、极限存在准则，两个重要极限1)夹逼定理，g(x)彡f(x)彡h(x)，如果limg(x)=limh(x)=A,则limf(x)=Ao数列极限也有同性。2)limx-o(sinx/x)=l；limx-.«x,(sinx/x)=O；limx-o

7、(cosx)=klimx-o[loga(l+x)/x]=l/lna03)单调有界数列必有极限。limx.oo[l+l/n)]n+1=e；limx-.TO[l+l/(l+n)]n=e；4)limx,TO(l+l/x)x=e;limx,o(l+x)1/x=e;limx,TO(l-l/x)x=l/e。limx一o[(ax-l)/x]=lna<>8、无穷小的比较lim3/a=m,m=0,P是a的高阶无穷小；m=o°,P是a的低阶无穷小；m=c^O,P是a的同阶无穷小；m=l：P是a的等价无穷小。lim3/ak=c7^0,P是a的k阶

8、无穷小。9、近视计算的等价代换(只适用于乘除计算，忌用加减)Ifsinx〜x;tanx〜x;arcsinx〜x;arctanx〜x;1-cosx〜l/2x、ln(l+x)~x;ex-l〜x;(l+x)/n-l〜(l/n)x;(l+x2)1/n-l〜(l/n)x2;10、函数连续性与间断点1)连续的定义，lim[f(x0+Ax)-f(xo)]=O；另一种表达是limf(x)=f(x0)。连续3极限。2)问断点的三种情形，①f(x)在点xG没有意义；②在xG有定义，但极限不存在；③在x0有定义，极限存在.，但limf(x)7^f

9、(x0)。3)无穷问断点；振荡间断点；可去间断点(上述第③种情形跳跃间断点。极限存在属第一类间断点，剩余的为第二类间断点。11、迮续函数的运算与初等函数的迮续性1)若g⑻、f(x)在点xo连续，则它们的和、差、积、商在点xG连续。2)f(x)在区间lx上单调连续变化，则其反函数fy)在相应区间Iy上单调连续变化。3)复合函数，limXi0f[g(x)]=limUi0f(u)=f(u0)，条件：limx-xog(x)=uo,f(x)在u()连续。或可表述为limXiof[g(x)]=f{limXiog(x)]。4)g(x)在

10、Xo连续，且g(x0)=u<)，f(x)在uG连续，则复合函数f[g(x)]在Xo连续。5)初等函数在定义域内都是连续的。12、闭区间上连续函数的性质1)宥界与最值，在闭区间上连续函数宥界，则一定宥最值。2)零点定理，f(x)在闭区间[a,b]连续，且f(a).f(b)<0,则在开区间(a，b)至少冇一点使f(6)=0。3)介值定理，f(x)在[a，b]连续，且f(a)=A，f(b)=B,则在(a，b)至少有点f(€)=C(A

11、—o[f(x()+△X)-f(x0)]/△x;或f,(xo)=limx^xo[f(x)-f(x0)]/(x-x0)□2、常用导数求解，C’=0;(xu)’=uxl卜i;(sinx),=cosx；(cosx),=-sinx；(tanx)’=sec2x;(cotx),=-csc2x；(secx