一注结构基础考试笔记

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1、上午篇：一、《高等数学》共24题1.1函数与极限1、数列极限的定义，│xn-a│＜ε，记作limxn=a。2、数列极限的性质1）数列收敛，则极限唯一。2）数列收敛则有界，无界则发散。3）数列与极限同号(保号性)。4）数列收敛于a，则其子数列也收敛于a。5）有界一定收敛，发散一定无界都是错的。特例是{1、-1、1、-1、(-1)n+1}。3、函数极限的定义，│f(x)-A│＜ε。f(x)在点x0有无极限与f(x)在点x0有无定义无关。f(x)在点x0极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。4、函数极限的性质1）极限若存在，则唯一。2）如果极限为A，则必有│f(x)│≤M(局部有

2、界性)。3）函数与极限同号(保号性)。4）如果极限limf(x)存在，{xn}为f(x)定义域收敛于x0的数列，则{f(xn)}必收敛，且limf(xn)=limf(x)。5、无穷小与无穷大1）极限为0是无穷小；│f(x)│＞M是无穷大。无穷小与无穷大互为倒数。2）无穷小的运算，有限个无穷小的和、积为无穷小；常数与无穷小的积为无穷小；有界函数与无穷小的积为无穷小；6、极限的运算法则，1）函数(数列)和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商；2）lim[cf(x)]=c.limf(x)；3）lim[f(x)]n=[limf(x)]n。4）limf(x)=a，limg(x)=

3、b，如果limf(x)＞limg(x)，则a＞b。5）复合函数，limg(x)=u0，limf(u)=A，u=g(x)，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A。7、极限存在准则，两个重要极限1）夹逼定理，g(x)≤f(x)≤h(x),如果limg(x)=limh(x)=A，则limf(x)=A。数列极限也有同性。2）limx→0(sinx/x)=1；limx→∞(sinx/x)=0；limx→0(cosx)=1。limx→0[loga(1+x)/x]=1/lna。3）单调有界数列必有极限。limx→∞[1+1/n)]n+1=e；limx→∞[1+1/(1+

4、n)]n=e；4）limx→∞(1+1/x)x=e；limx→0(1+x)1/x=e；limx→∞(1-1/x)x=1/e。limx→0[(ax-1)/x]=lna。8、无穷小的比较limβ/α=m，m=0，β是α的高阶无穷小；m=∞，β是α的低阶无穷小；m=c≠0，β是α的同阶无穷小；m=1，β是α的等价无穷小。limβ/αk=c≠0，β是α的k阶无穷小。9、近视计算的等价代换（只适用于乘除计算，忌用加减）27sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；1-cosx~1/2x2；ln(1+x)~x；ex-1~x；(1+x)1/n-1~(1/n)x；(

5、1+x2)1/n-1~(1/n)x2；10、函数连续性与间断点1）连续的定义，lim[f(x0+Δx)-f(x0)]=0；另一种表达是limf(x)=f(x0)。连续极限。2）间断点的三种情形，①f(x)在点x0没有意义；②在x0有定义，但极限不存在；③在x0有定义，极限存在，但limf(x)≠f(x0)。3）无穷间断点；振荡间断点；可去间断点(上述第③种情形)；跳跃间断点。极限存在属第一类间断点，剩余的为第二类间断点。11、连续函数的运算与初等函数的连续性1）若g(x)、f(x)在点x0连续，则它们的和、差、积、商在点x0连续。2）f(x)在区间Ix上单调连续变化，则其反函

6、数f-1(y)在相应区间Iy上单调连续变化。3）复合函数，limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=f(u0)，条件：limx→x0g(x)=u0，f(x)在u0连续。或可表述为limx→x0f[g(x)]=f[limx→x0g(x)]。4）g(x)在x0连续，且g(x0)=u0，f(x)在u0连续，则复合函数f[g(x)]在x0连续。5）初等函数在定义域内都是连续的。12、闭区间上连续函数的性质1）有界与最值，在闭区间上连续函数有界，则一定有最值。2）零点定理，f(x)在闭区间[a,b]连续，且f(a).f(b)＜0，则在开区间(a,b)至少有一点使f(ξ)=0

7、。3）介值定理，f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A，f(b)=B，则在(a,b)至少有点f(ξ)=C(A＜C＜B)。13、多元函数的极限与连续性。1.2导数与微分1、导数的定义f’(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx；或f’(x0)=limx→x0[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。2、常用导数求解，C’=0；(xu)’=uxu-1；(sinx)’=cosx；(cosx)’=-sinx；(tanx)’=sec2x；(cotx)’=-csc2x；(secx)’=secx