初三动点问题经典练习

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1、动点问题练习1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；ABCDEFO（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．1.解：（1）当B，E，F三点共线时，两

2、点同时停止运动，如图2所示．………（1分）图2ABCDEF由题意可知：ED=t，BC=8，FD=2t-4，FC=2t．∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴．∴．解得t=4．∴当t=4时，两点同时停止运动；……（3分）（2）∵ED=t，CF=2t，∴S=S△BCE+S△BCF=×8×4+×2t×t=16+t2．即S=16+t2．（0≤t≤4）；………………………………………………………（6分）（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，∵EF2=，EC2=，∴=．∴t=4或t=0（舍去）；②若EC=FC时，∵EC2=，FC2=4

3、t2，∴=4t2．∴；③若EF=FC时，∵EF2=，FC2=4t2，∴=4t2．∴t1=（舍去），t2=．∴当t的值为4，，时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，，∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10分）∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．∵BE2=，∴=64．∴t1=（舍去），t2=

4、．∴当t=时，∠BEC=∠BFC．……………………………………………（12分）2.正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；DMABCN（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．2.解：（1）在正方形中，NDACDBM，，，，在中，，，，（2），，，，当时，取最大值，最大值为10．（3），要使，必须有，由（1）知，，当点运动到的中点时，，此时．yAOMQPBx3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90

5、°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值.4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，Q

6、C=4-t，DP=t，BP=5-t∵PQ⊥BC∴△BPQ∽△BDC∴即∴当时，PQ⊥BC……………………………………………………………………3分（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M∴△BPM∽△BDC∴∴……………………4分∴=…………………………………………5分∴当时，S有最大值．……………………………………………………6分（3）①当BP=BQ时，，∴……………………………………7分②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=∴△BQE∽△BDC∴即∴……………………9分③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F,此时，BF=∴

7、△BPF∽△BDC∴即∴……………………11分∴，，，均使△PBQ为等腰三角形．…………………………12分4.如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（09年济南中考）（1）求的长。（2）当时，求的值．ADCBMN（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．4.解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形∴在中，在中，由勾股定理得，∴（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形∵∴∴∴由题

8、意知，当、运动到秒时，∵∴又∴∴即解得，（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴ADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE②当时，如图④，过作于∵∴∴即∴③当时，如图⑤，过作于点.（图⑤）ADCBHNM