一种混合整数双层线性规划的全局优化方法分析

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1、一种混合整数双层线性规划的全局优化方法分析许春善海南政法职业学院海南海口571100摘要：混合整数的双层线性规划是指上层变量为0〜1型变量，下层变量为连续型变量的线性规划，在求解过程中，根据分支定界法原理对下层问题的对偶问题可行域上的极点进行计算，然后将上下层变量的上层线性规划进行转换使之成为有限个混合整数线性规划问题，从中求得全局最优解。关键词：混合整数双层线性规划全局最优解对偶间隙层次性是大系统和复杂系统的主要特征。多层规划产生的主要目的是为了研究层次性，在研宄的过程中逐渐形成一个新的运筹学分支。由于人们一般将决策系统看作

2、双层决策系统，从而使得双层规划成为多层规划中最常见的形式。要使双层规划的情况下作山符合全局利益决策的规划，就必须将非合作层进行有序组合，首先让上层给下层一定的信息，下层按照自己的利益对这些信息给予一定的反应，上层再根据下层的反应做出决策，这样才能够使得决策体现全局性。一、混合整数双层线性规划的全局优化方法模型及其定义1.混合整数双层线性规划的全周优化方法模型双层优化问题中，在变量的取值上面都有一定的要求，一般要求取整数值的变量较多。比较有代表性的规划是城市交通网络的设计中、企业生产设备的分配中、企业人力资源的规划等，对于这些规

3、划的变量一般都要求取整数值。变量的离散性分析一般会使得一些较为简单的混合整数双层线性规划问题出现无解的情况。为了保证分支定界求解算法收敛，采用Moore和Bard讨论上下层都有离散变量的混合整数上层线性规划问题，当分支定界求解算法上层无连续变量的时候，就会出现收敛现象。Moore和Bard主要研究的是上下层变量为0〜1型变量的混合整数上层线性规划问题，对参数整数的规划求解从中得到分支定界的方法。假设x为上层决策者控制的n维列向量，y为下层决策者控制的m维列向量，可以将混合整数双层线性规划问题的一般形式写为:(Pl)minF(x

4、，y)=clx+dly,s.t.Alx+Bly≤blxj=O或1(l≤j≤n)。其中，y解为(P2)minyf(x，y)=d2y,s.t.A2x+B2y≤b2y≥O。其中，(Pl)为混合整数双层线性规划的全局优化方法的上层问题，(P2)为混合整数双层线性规划的全局优化方法的下层问题。MIBLPP的约束域为S,其中S={(X，y):Alx+Bly≤blA2x+B2y≤b2,xj=O或1(l≤j≤n),y≥O}，设T为S在上层决策空间上的投影，则T={x:(x,y)&is

5、in;S}。对于规划中的x∈T,记作S(x)={y:(x，y)∈S}。1.混合整数双层线性规划的全局优化方法定义(1)下层问题的合理反应集为P(x)={y:y∈argmin[f(x,y)：y∈S(x)]},则混合整数双层线性规划的全局优化方法的诱导域为IR={(x,y)∈S：y∈P(x)}。(2)对于一个集合(x：y)∈IR,如果存在(X*,y*)∈IR满足条件F(x*,y*)≤F(x,y),则可以将(x*，y*)称为混合整数双层线性规划的全

6、局优化方法的全局最优解。下层问题的合理反应集Px—定程度上定义了下层决策者的反砬情况，IR作为可行解集合对上层决策者给出了一定的优化空间，通常情况下，可以将连续双层线性规划问题称作混合整数双层线性规划的全局优化方法的松弛问题：(RP)minF(x，y)=clx+dlys.t.Alx+Bly≤blx≥O其中y解为minf(X，y)=d2y当s.t.A2x+B2y≤b2得出y≥O将S={(x,y):Alx+Bly[bl，A2x+B2y≤b2,x≥O，y≥O}记作是(RP)的约束，域，从中可

7、以得出S在上层决策空间上的投影即:T={x：(x,y∈S)}o综合定义可以得到P(x)为(RP)下层问题的合理反应集，IR为(RP)的诱导域。如果将S设为非空紧凸集，并且满足决策x∈T，此外，(RP)的下层问题都冇唯一最优解，就可以得到如下结论。结论1:S∈S,IRIR，结论2:如果S≠φ则IR≠φJR中的可行点就会落在凸多面体S的边界上，结论3:如果S≠φ,则混合整数双层线性规划的全局优化方法一定会有最优解，并且其最优解可以在S的边界上面找到。二、双层线

8、性规划的理论与算法为了将混合整数双层线性规划的全局优化方法的问题方便地叙述出来，需要将枚举数中节点的序号用k表示出来。当上层给出x∈T的决定之后，混合整数双层线性规划的全局优化方法的下层就会及吋反应为解线性规划问题：（Px）minyf（x，y）=d2ys.t.B2y