参数方程与应用

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1、极坐标与参数方程一、极坐标与直角坐标之间的转换：表示半径为圆心为原点的圆：表示顶点在原点，与轴的正半轴夹角为的射线表示圆心为，半径为的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）表示圆心为，半径为的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）二、常见的参数方程1、直线的参数方程形式一：（倾斜角）（为参数）形式二：（向量式）（为参数）过定点，直线斜率两种形式的转化方法：（为参数）（为参数）2、圆的参数方程（为参数）（为参数）3、椭圆的参数方程（为参数）（为参数）4、双曲线的参数方程（为参数）（为参数）5、抛物线的参数方程（为参数）（为参数）三、直线参数方程中的几何意义的应用（为参数）表示直

2、线上任意一点到定点的距离.直线参数方程（为参数），椭圆方程，相交于两点，直线上定点将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，则：若为的中点，则1、以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位.已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并将圆的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）设与圆相交于两点，求弦的长.答案：（1）（为参数），（2）同类型题1：在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），它与曲线交于两点.（1）求的长；（2）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.答案

3、：（1）（2）同类型题2：（2010福建）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点.若点的坐标为，求.答案：（1）（2）四、极坐标方程和参数方程的应用1、已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.答案：（1）为圆心是，半径是的圆；为中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（2）最小值为同类型题1：以直角坐标系的原点

4、为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值.答案：（1）（2）当时，的最小值为.同类型题2：（2013新课标2）已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为中点.（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.答案：（1）（为参数）（2）时过原点2、（2013新课标1）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）把的参数方

5、程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标.答案：（1）（2）同类型题1：（2013辽宁）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆和直线的极坐标方程分别为.（1）求与交点的极坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为（为参数），求的值.答案：（1）（2）3、（2010新课标）已知直线（为参数），圆（为参数）.（1）当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点.当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.答案：（1）（2）圆心为，半径为的圆同类型题1：在极坐标系中，曲线与的极坐标方程依次为.（1）求曲线和的公共点的个数.（2）

6、过极点作动直线与曲线相交于点，在上取一点，使，求点的轨迹，并指出轨迹是什么图形.答案：（1）没有公共点（2）是以为圆心，为半径的圆