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1、第一章行列式1.3证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列当n2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。偶排列与奇排列各占一半。4（1）不是行列式的项是行列式的项因为它的列排排列逆序列=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，应带负号（2）不是行列式的项=因为它的列排排列逆序列(34512)=2+2+2+0+0=6为偶数应带正号。5解：利用为正负数来做，一共六项，为正，则带正号，为负则带负号来做。6解：（1）因为它是左下三角形===121（2）=+==0（3）==32（4）==7.证明：将行
2、列式转化为若零元多于个时，行列式可变为故可知行列式为0.8.（1）5=55121121121121习题一13（1）根据“定义法”（2）121根据“降阶法”（3）注：根据范达蒙行列式原式=-1=121（4）==14（1）证明：121(2)证明：（3）（4）“递推法”12115.(1)=+=(ab+1)(cd+1)-[a(-d)]=(ab+1)(cd+1)+ad(2)==(4-6)(-1-15)=32(3)=++=-a(c-d)-a(d-b)-a(d-c)=abd=abd(c-b)(d-b)(c-d)121(4)===(==16.范达行列式V()=121=（1）因为为常数。所以p(x)是n-
3、1次的多项式（2）令p(x)=0.得x=.x=......即p(x)的根为第二章矩阵代数4.计算下列矩阵乘积（1）==(2)==(3).(1,-1，2）=（1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=（9，4，1）（4）（x,y,1）=（x,y,1）121=（4）==5.设A=，B=，求==========6.(1)A=121n=1时A=n=2时==n=3时=A==假设（1当n=1时，=（2假设当n2时（n为自然数）成立，令n=k，则=成立；当n=k+1时=A===成立综上当n微自然数时当n=1时，121当n=2时，当n=3时，假设=当n=1
4、时=假设n=k+1时==成立综上当n为自然数时，121当A=2时n=3时n=4时n=5时假设n时成立当n=3时假设n=k时成立当n=k+1时121=整理得成立所以综上=7、已知B=证明{E,当n为偶数；B,当n为奇数证明：∵∴∴=｛E,当n为偶数；B,当n为奇数8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。证明：设两个n阶上三角形矩阵为A,B,121且A=B=根据矩阵乘法，有AB=则可知AB为上三角形矩阵同理，可得BA也为上三角形矩阵。9、若AB=BA,AC=CA,证明：A、B、C为同阶矩阵，且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.证：设A=，B=，C=由题知AB、B
5、A有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为m×n阶矩阵，则可知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵②③10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA，证明：（1）（2）（3）12111、12112、证明12113、12114、12115、121当n=1时，当n=2时，当n=3时，假设=当n=1时=假设n=k+1时121==成立综上当n为自然数时，当A=2时n=3时n=4时121n=5时假设n时成立当n=3时假设n=k时成立当n=k+1时=整理得成立所以综上=12116、（1）解：设由①②③④得：得（2）设由①②③④，得：得：121
6、（3）设由方程组，得：得（4）设得得：（5）121设得得19、（1）解：方程组的解为：121（2）方程组的解为：（3）方程组的解为：（4）有且仅有或时，无意义；则其他情况121方程组的解为：（4）（5）由121得(6)12124.证：A为对称矩阵A=A’AA=AA’=EAA’(A’)=E(A’)A=(A’)A为可逆对称矩阵（A’）=(A)’A=(A)’可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。25.证：（1）（A）’=(AA)’=A’A’A为n阶对称矩阵A’=A（A）’=A121A为对称矩阵(B)’=(BB)’=B’B’B是n阶反对称矩阵B’=-B（B）’=(BB)’=B’B’B是n阶反对称矩阵
7、B’=-B(B)’=(-B)(-B)=BB是对称矩阵（AB-BA）’=(AB)’-(BA)’=B’A’-A’B’=-BA-A(-B)=AB-BAAB-BA为对称矩阵。（2）必要性：AB为反对称矩阵（AB）’=-AB又（AB）’=B’A’=-BAAB=BA充分性:AB=BA(AB)’=B’A’=-BAAB为反对称矩阵综上所述：AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。26.解：设矩阵X为x=则=Ax=o=0即121=0对任意n1矩阵
