倒立摆仿真及实验报告

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1、最优控制实验报告二零一五年一月目录第1章一级倒立摆实验31.1一级倒立摆动力学建模31.1.1一级倒立摆非线性模型建立31.1.2—级倒立摆线性模型建立51.2一级倒立摆U状态调节器仿真51.3—级倒立摆U状态调节器实验91.4一级倒立摆U输出调节器仿真111.5—级倒立摆匕输出调节器实验131.6—级倒立摆非零给定调节器仿真141.7一级倒立摆非零给定调节器实验16第2章二级倒立摆实验162.1二级倒立摆动力学模型162.1.1二级倒立摆非线性模型建立172.1.2二级倒立摆线性模型建立182

2、.2二级倒立摆U状态调节器仿真192.3二级倒立摆U状态调节器实验212.4二级倒立摆U输出调节器仿真222.5二级倒立摆匕输出调节器实验222.6二级倒立摆非零给定调节器仿真232.7二级倒立摆非零给定调节器实验24第1章一级倒立摆实验1.1一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，W将直线一•级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示图1-1直线-级倒立摆梭型M小车质量1.096kg;m摆杆质量0.109kg；b小车摩擦系数0.lN/m/sec；I摆杆转动轴心到杆质心的长度

3、0.25m;I摆杆惯量0.0034kgm2；(p摆杆与垂直向上方向的夾角，规定角度逆吋针方向为正；x小车运动位移，规定向A为正。1.1.1一级倒立摆非线性模型建立采用拉格朗闩方法，系统的拉格朗闩方程为：L⑽=T(q，々)-V⑽(1.1)其中，l为拉格朗口算子，6/为系统的广义坐标，r为系统的动能，v为系统的势能。拉格朗日方程由f*义坐标％和L表示为：dt3qt3qt(1.2)y;为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，系统的两个广义坐标分别力0和X。系统动能：112T=Tm+Tmi=—Mx2

4、---nx14-/7^/!a^cos(^)+—m^,2^2(1.3)系统的势能V=ngl}cos(1)(1.4)ddLdt3^dLd(/>(1.5)由于在广义坐标0上应用拉格朗日方程，由于此广义坐标上无广义力，则得到:(1.6)mixcos夕+mgIsin珍(/+m/2)在simulink中建立非线性仿真动力学模型1-2一级倒立摆非线性动力学模型其屮MATLABFunction模块屮代码如下：functiondw=fen(u,phi)I=0.0034；m=0.109；1=0.25;g=9.

5、8;dw=(m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi))/()；1.1.1—级倒立摆线性模型建立由(1.6)，且对于质量均~分布的摆杆有/=-ml2,将/=0.25m代入有參•(I)=3(xcos^+gsin(/))(1.7)将其•在平衡位置0=0°处进彳i•线性化，cosp=l，sin0=0，且有=9.831/77/52得到$jj!jAU=X^=29.493^+3%(1.8)X♦參V*X/中0100'X'0"0000X110001中十00029.4930__3_将系统写为如下状

6、态空间描述形式x♦XU(1.9)10000010中(s>在simulink中建立线性仿真动力学模型，只需将1.1.1里建立的非线性模型屮MATLABFunction模块代码更改为dw=29.493*phi+3*u；1.2一级倒立摆I状态调节器仿真对于线性定常系统的状态方程为増=Ax⑺+Sw⑺(1.10)给定初始条件40=及，终端吋间&=00。求最优控制使系统的二次型性能指标J=2J_xr(t)Qx(t)ur取极小值。式中A,B,2,R——常数矩阵；Q——半正定对称阵；R——正定对称矩阵。控制不

7、受约束，最优控制存在II唯一，即(1.12)(1.13)u(t)=-R~]BrPx(t)=-W)式中，P为nxn维正定常数矩阵，满足里卡提矩阵代数方程PA+ArP-PBR—'BTP+Q=Q对于线性定常系统无限时间状态调节器问题，耍求系统完全能控。求解出上方程，即可得到最优控制：⑴。试验屮的一级倒立摆模型可以线性化为定常系统，其屮系数矩阵为'0010000'0o'1;B=00010_0029.4930_-3_1C=0公式(1.11)中选定不同的Q，R值，Q4x4为半正定矩阵，Rlxl为正定矩阵，通

8、过求解代数黎卡提方程(利用Matlab里面的lqr函数)可以得到最优控系数K=lqr(A,B，Q,R)(1.14)控制率为(1.15)Q、R的形式可设计为(1.16)'G,Q二e44因为二次型最优控制是使得二次型性能指标取极小值，故只需改变Q矩阵中元素的值即可，不用改变R的取值，即只要保证Q与R的相对大小即可。其中，Q矩阵中代表小车位置的权重，Q22代表小车速度的权重，代表摆杆角度的权重，Q44为摆杆角速度的权重。仿真实验模型如下图1-3仿裒实验模型设定角度初始值为10°，角速度与小车速度初值均