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1、数与数系数是最古老的数学概念之一。在长达数十世纪的漫长岁月中，人们对数的认识得到了不断的深化，然而，这一司空见惯的概念中却蕴涵了无穷无尽的奥秘。即便是连小学生都“熟知”的自然数，也向数学家们，甚至向全人类的智慧提出了挑战，有些貌似平凡的数论问题，仿佛在我们面前竖起了一道道千丈陡壁，有意考验攀登者的勇气和决心。具有一定性质的数放在一起构成了数系，通常我们所熟知的数系有：自然数系，整数系，有理数系，实数系和复数系。讨论数和数系有各种方法，例如分析方法，代数方法等，本文主要从代数角度来讨论数与数系的基本概念和理论。
2、1数系是怎样扩张的数系概念具有下列两个方面的意义：其一，数系是一些数的集合；其二，在一个数系内可以进行某些运算（通常是指数的加法和乘法），这些运算满足一定的运算律。所谓数系的扩张往往同运算的逆运算的可行性，或更一般的说同某些方程解的存在性的讨论有关。在自然数系中，人们可以进行加法和乘法运算。在一定条件下，还可以进行减法和除法运算。相应地，方程x+a=b和cx=d(c≠0)并非总有解。为了使减法顺利进行，即要使方程x+a=b总有解，我们便将自然数系扩充为整数系。但即使在整数系中，方程cx=d(c≠0)也不是总有
3、解存在。因此我们又须把整数系扩充为有理数系。最初人们对有理数系很满意，因为加减乘除（除数非零）都可以畅通无阻地进行。但人们很快就发现了缺陷，方程x2=2（即求边长为1的正方形的对角线之长）没有有理数的解，人们认为这简直不可思议，因而把2这样的数称为无理（！）数。但实数系远不只包含有理数和2这种可以作为某个实数系方程的根的数。要完成有理数向实数系的扩张，必须通过更为复杂的过程，从而也产生了许多复杂的扩张理论和方法。这里我们就不再多加以叙述了。实数系向复数系的扩张却出人意料地简单。首先，扩张的“动机”产生于求解方
4、程：x2+1=0,而引进虚数单位i（即x2+1=0的一个解）后，复数集可以写成C={a+bi∣a.b∈R},其中R表示实数集。为下文讨论方便，我们列举自然数系的一些性质：A1àD整数系的大小顺序关系：01à0M.A1(x+y)+z=x+(y+z)(加法结合律)A2x+y=y+x（加法交换律）A3若x+z=y+z,则x=y（加法消去律）M1(xy)z=x(yz)（乘法结合律）M2xy=yx（乘法交换律）M3若xz=yz,z≠0,则x=y（乘法消去律）Dz(x+y)=zx+zy（乘法对加法的分配律）010203对
5、任一对整数x,y总有x>y或y>x或x=y.0A0M在数系的扩张过程中，全部运算性质，即A1,A2,A3,M1,M2,M3及D，对自然数系，有理数系，实数系和复数系全部适用，但在复数系中不可能定义大小顺序。不过，在复数系中仍可以定义顺序，例如我们可以这样定义,令其中a,b,c,d均为实数。不难验证，这样规定的顺序01，02，03均成立。我们还可以定义其他的顺序，但所有这些顺序都不可能是大小顺序，问题在于对于复数域中任意顺序，都可以由0A和0M导出矛盾。假如我们在复数系中规定了一种大小顺序，不失一般性，可假定在
6、这一顺序之下，有i0（实际上等号不成立）,则依0M;i•i0,即-10,又由0A,0=i+(-i)i+0=i,即0i,矛盾。我们能否进一步构造一个包含复数系的新的数系，且使原来的运算性质全部保留下来？一个很自然的想法是考察一元复系数高次方程的解，如果我们能找到一个复系数方程，它在复数范围内没有解，就有可能得到一个复系数的扩张系，但实际上这样的方程不可能找到。高斯证明了：任何一个一元n次复系数方程都在复数范围内有一个解。实际上，这就表明了该方程的n个解全部属于复数系。由于这一定理十分重要，故人们称之为“代数基本
7、定理”。下面我们给出它的一个证明。定理（代数基本定理）任意n次复系数多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,a0≠0至少有一个复数根。为证明这一定理，我们不加证明而承认这一事实：总存在复数系的扩张系（注意，这种扩张系不一定是数系），能使f(x)在其中有n个根。下面我们给出该定理的证明。证明：10我们仅须对实系数多项式证明该定理。这是因为，若我们已证明，对实系数多项式定理成立，那么设f(x)为复系数多项式，则F(x)为实系数多项式，从而F(x)必至少有一复数根,即有或,故或为f(x)的根。
8、20下面证明，任意实系数方程至少有一个复数根。假定f(x)的次数n=2ιm,ι为非负整数，m为奇数，我们对ι实施归纳。若ι=0,则f(x)为奇次多项式，众所周知，f(x)至少有一实根。假定对ι-1命题成立，现考察ι的情况。设E为复数系的一个扩张系，f(x)在其中有n个根，记为.任取实数C,作：对每个C恰有.令则g(x)为次多项式，其系数恰为βij的对称多项式，从而也是的对称多项式。但的初等对称多项式
