[高考数学]2012届高考数学限时训练导数的应用

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1、A级　课时对点练(时间：40分钟　满分：70分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案：(2，＋∞)2．已知函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x)在R上恒大于或等于0，所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0，得2≤m≤4.答案：[2,4]3．(江苏省高考命题研究专家原创

2、卷)设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析：因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1，即m<－.答案：m<－4．(2010·常州模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析：结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1

3、数，且当x>0时，f(x)>0，f′(x)>0，则函数y＝xf(x)的递增区间是________．解析：当x>0时，y′＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)>0，∴y＝xf(x)在(0，＋∞)上递增．又f(x)为奇函数，∴y＝xf(x)为偶函数，∴y＝xf(x)在(－∞，0)上递减．答案：(0，＋∞)6．(2010·常州五校联考)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2列表得：x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2，3)3f′(x)＋0－0＋

4、f(x)17极大值24极小值－8－1可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.答案：327．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．解析：∵y′＝aeax＋3，由y′＝0，得x＝ln，∴－＞0，a＜0.又∵有正根，∴必有得a＜－3.答案：a＜－38．(江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)＜0恒成立，且f(4)＝1，若f(x＋y)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．解析：由f(x)在(0，＋∞)上的导函数f′(x)＜0恒成立，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x＋y)

5、≤1，f(4)＝1，则f(x＋y)≤f(4),所以x，y满足x＋y≥4且x＞0，y＞0.又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是(x，y)到(－1，－1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得x2＋y2＋2x＋2y的最小值是16.答案：16二、解答题(共30分)9．(本小题满分14分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)·lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.(1)解：f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1.题设xf′(x)≤x2＋ax

6、＋1等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x＝lnx－x≥0.所以(x－1)f(x)≥0.10．(本小题满分16分)某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400

7、人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时，当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元，若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．解：设轮船航行速度为v公里/小时，则0＜v≤25.又设总费用为y元，则y＝480·＋·av3.(其中a为比例系数)．由条件30＝a