最全线性规划题型总结

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1、线性规划题型总结1.“截距”型考题在线性约束条件下，求形如的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1．（2017•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）A．B．1C．D．3答案：D解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．2．（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　　．答案：﹣1．解：由z=3x﹣

2、4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．3．（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（　　）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）答案：D．解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．4．（2016•河南二模）已知x，y∈R，

3、且满足，则z=

4、x+2y

5、的最大值为（　　）A．10B．8C．6D．3答案：C．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=

6、x+2y

7、，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=

8、x+2y

9、得z=2×2+2=6。5．（2016•湖南模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=32x﹣y的最大值为（　　）A．B．C．3D．9答案：D．解：约束条件对应的平面区域如图：令2x﹣y=t，变形得y=2x﹣t，根据t的几何意义，由约束条件知t过A时在y轴的截距最大，使t最小，由得到交点A（，）所以t最小为；过C时直

10、线y=2x﹣t在y轴截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值为2×1﹣0=2，所以，故。2.“距离”型考题在线性约束条件下，求形如z=（x-a）2+（y-b）2的线性目标函数的最值问题，通常转化为求点（a，b）到阴影部分的某个点的距离的平方的取值.6．（2016•山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）A．4B．9C．10D．12答案：C．解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴

11、OA

12、＞

13、OC

14、，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．7．（2016•浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，

15、由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则

16、AB

17、=（　　）A．2B．4C．3D．6答案：C解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′=RQ，由得，即Q（﹣1，1），由得，即R（2，﹣2），则

18、AB

19、=

20、QR

21、===3，8．（2016•安徽模拟）如果实数x，y满足，则z=x2+y2﹣2x的最小值是（　　）A．3B．C．4D．答案：B．解：由z=x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，设m=（x﹣1）2+y2，则m的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区

22、域如图：由图象知D到AC的距离为最小值，此时d==，则m=d2=（）2=，则z=m﹣1=﹣1=。3.“斜率”型考题在线性约束条件下，求形如z=的线性目标函数的最值问题，通常转化为求过点（a，b）阴影部分的某个点的直线斜率的取值.9．（2016•唐山一模）若x，y满足不等式组，则的最大值是（　　）A．B．1C．2D．3答案：C解：由题意作平面区域如下，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时==2，10．（2016•莱芜一模）已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（　　）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]答案：C解：画出满足

23、条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），而z=的几何意义表示过平面区域内的点与（﹣1，﹣1）的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，KAC==，KBC==．11．（2016•衡阳二模）已知变量x，y满足，则的取值范围是（　　）A．B．C．D．答案：[，]解：作出满足所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的