龙贝格积分实验报告

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1、二、Romberg积分法1.变步长Romberg积分法的原理复化求积方法对于提高精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要事先估计Hi部长。若步长过大，则精度难于保证；若步长过小，则计算量又不会太大。而用复化公式的截断误差来估计步长，其结果是步长往往过小，而且

2、/"(x)

3、和

4、/⑷(x)

5、在区间[^]上的上界M的估计是较为困难的。在实际计算中通常釆用变步长的方法，即把步长逐次分半(也就是把步长二等分)，直到达到某种精度为止，这种方法就是Romberg积分法的思想。在步长的逐步分半过程屮，要解决两个问题：1.在计算出7；后，如何计算r2/v,即导出r2/v和7；之间的递

6、推公式；2.在计算出7；后，如何估计其误差，即算法的终止的准则是什么。首先推导梯形值的递推公式，在计算7；时，需要计算W+1个点处的函数值在计算出7；后，在计算r2/v吋，需将每个子区间再做二等分，共新增2V个节点。为了避免重复计算，计算r2/v吋，将已计算的7V+1个点的数值保留下来，只计算新增;v个节点处的值。为此，把r2/v表示成W部分之和，即12/V-1Lk=[1N—N=-么[/⑻+/(/?)+2^/(6/+^^)+/(«+(2々-U]Lk=k=1h^-1N=~f[/⑻+/(办)+2^f(a+kh^)]+f{a+{2k-1)〜)]LLk=lk=由此得到梯形值递推

7、公式1NT2N=-TN+h,NYf^^^-Y)h^1Lk=1大I此=b-a,T{=y[/(tz)+/(/?)],K=5、，T2=—7J+hyf(a+h2)由复化梯形公式的截断误差有I-TN=-^h2Nf^a<7j}

8、记T卜TN，将区间；V等分的梯形值。T（n'、=Sn，将区间TV等分的Simpson7；2）=CN,将区间W等分的Cotes。丁了=RN，将区间/V等分的Romberg。由其可构造一个序列{7$，，次序列称为Romberg序列，并满足如下递推关系:灯0)=b-a[f(a)+f(b)]^+Ak_nr(k-Y)L2N一1N4々-l以上递推公式就是Romberg积分递推公式3.Romberg积分程序1.置W=1，精度要求6*，h'=b-a•，2.计算⑻+/0)j;1.置、=夸，并计算O去7^+与嗦仰+以-1)^);2.=N,N=2N，K=V,5.6.若M=1,则转(7)；否则置M=_

9、，k=k+l转(5)；27.若7^-7；(A:_"，贝IJ停止计算(输出忑⑴)，否则转(3)。4.Romberg积分法的应用function[T,n]=romb（f，a，b，eps）doubleR;ifnargin<4,eps=1e-8;endh二b-a;R（1，1）=（h/2）*（feval（f，a）+feval（f，b））;n=l;J=0;err=l;while（err〉eps）J=J+1;h=h/2;S=0;fori=l:nx=a+h*（2*i-l）;S=S+feval（f，x）;endR（J+l，l）=R（J，l）/2+h*S;fork=l:JR（J+1，k+1）=（4

10、八k*R（J+1，k）-R（J，k））/（4Ak-1）;enderr=abs（R（J+1，J+1）-R（J+1,J））;n=2*n;endR;T=R（J+1,J+1）End其中输入项：f为被积函数，ab为积分区间的端点值，ep为积分精度；输出项：T是逐次积分表值，n是迭代次数，R是最后积分值。4.1程序调用可以将被积分函数编成函数文件，也可以直接使用内联函数来表示被积分函数，示例如下：〉〉f=inline（’l/（l+x.A2y，Y）;»[T，n，R]=romb(f，2,9，le-9)运行后得出其迭代次数，最终积分结果以及龙W格积分矩阵如表2-1所示，迭代次数N=64,最终的积

11、分值R=0.3530.表2-1龙W格积分矩阵0.74270.00000.00000.00000.00000.00000.00000.48330.39690.00000.00000.00000.00000.00000.39050.35960.35710.00000.00000.00000.00000.36280.35360.35320.35320.00000.00000.00000.35550.35300.35300.35300.35300.00000.00000.35360.35300.35