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时间:2018-10-29
《高中数学三角恒等式变形解题常用方法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、WORD文档可编辑高中数学三角恒等式变形解题常用方法一.知识分析1.三角函数恒等变形公式(1)两角和与差公式(2)二倍角公式(3)三倍角公式(4)半角公式 (5)万能公式, , (6)积化和差,,,技术资料专业分享WORD文档可编辑(7)和差化积,,, 2.网络结构技术资料专业分享WORD文档可编辑3.基础知识疑点辨析(1)正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式? 实际上,正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式,因为在和角公式中,是一个任意角,可正可负。另外,公式虽然形式不同,结构不同,但本质相同:。技术资料专业分享WORD文档可编辑(2)怎样正确理解正切的和差角
2、公式? 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点: ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式,右边的“分子”、“分母”都除以,从而“化弦为切”,导出了。②公式都适用于为任意角,但运用公式时,必须限定,都不等于。③用代替,可把转化为,其限制条件同②。(3)正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用? ①不用计算器或查表,只通过笔算求得某些特殊角(例如15°,75°,105°角等)的三角函数值。②能由两个单角的三角函数值,求得它们和差角的三角函数值;能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围,求得两角和的大小(注意这两个条件缺一不可)。③能运用这些和(差)角公式以及其它有关公式证明三角恒
3、等式或条件等式,化简三角函数式,要注意公式可以正用,逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。(4)利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么? 先用二倍角公式导出,再把两式的左边、右边分别相除,得到,由此得到的三个公式:,,分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号,由所在的象限来确定,如果没有给出限制符号的条件,根号前面应保持正、负两个符号。另外,容易证明 。 4.三角函数变换的方法总结技术资料专业分享WORD文档可编辑三角学中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角
4、恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广,是常用的解题工具,而且由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明,对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。(1)变换函数名对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过“切割化弦”,“切割互化”,“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例1】已知θ
5、同时满足和,且a、b均不为0,求a、b的关系。解析:已知显然有:由①×cos2θ+②×cosθ,得:2acos2θ+2bcosθ=0即有:acosθ+b=0又 a≠0所以,cosθ=-b/a ③将③代入①得:a(-a/b)2-b(-b/a)=2a即a4+b4=2a2b2∴(a2-b2)2=0即|a|=|b|点评:本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用,主要利用切割弦之间的基本关系式。 (2)变换角的形式对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式,从而运用有关的公式进行变形,这种方法主要是角的拆变.它应用广泛,方式灵
6、活,如α可变为(α+β)-β;2α可变为(α+β)+(α-β);2α-β可变为(α-β)+α;α/2可看作α/4的倍角;(45°+α)可看成(90°+2α)的半角等等。【例2】求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值。技术资料专业分享WORD文档可编辑解析:设θ+15°=α,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cosα=(sinαcos60°+cosαsin60°)+(cosαcos30°-sinαsin30°)-cosα=sinα+cosα+cosα-sinα-cosα=0点评:本例选择一个适当的角为“基本量”,将其余的角变成某特殊角与这
7、个“基本量”的和差关系,这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα=Asin(α+β) (其中cosβ≠A),试证明:tan(α+β)=证明:已知条件可变为:sin[(α+β)-β]=Asin(α+β)所以有:sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=Asin(α+β)∴sin(α+β)(cosβ-A)=cos(α+β)sinβ∴tan(α+β)=点评:在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法,它往往是寻找解题突破的关键
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