高中数学三角恒等式变形解题常用方法

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1、高中数学三角恒等式变形解题常用方法一.知识分析1.三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式   （5）万能公式，  ，    （6）积化和差，，，29（7）和差化积，，， 2.网络结构293.基础知识疑点辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？   实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同：。29（2）怎样正确理解正切的和差角公式？   正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：   ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“

2、分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。③用代替，可把转化为，其限制条件同②。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？   ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。（4）利用

3、单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？   先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：，，分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易证明 。 4.三角函数变换的方法总结29三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与

4、内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。解析：已知显然有：由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0即有：acosθ＋b=0又  a≠0所

5、以，cosθ＝－b/a            ③将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a即a4＋b4＝2a2b2∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。 （2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。【例2】求

6、sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。29解析：设θ＋15°＝α，则原式＝sin（α＋60°）＋cos（α+30°）－cosα＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα＝0点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β） （其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin（α＋β）所以有：s

7、in（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝Ａsin（α＋β）∴sin（α＋β）（cosβ－Ａ）＝cos（α＋β）sinβ∴tan（α＋β）＝点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1