初等数学研究程晓亮、刘影版课后习题答案

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1、初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案第一章数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位满足，和有序实数对一起组成一个复数.2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量

2、，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合两两没有公共元素分别是非空有限集的基数，根据定义，若，则存在非空有限集，使得；若从而必存在非空有限集，使得，所以所以集合的基数大于集合的基数，所以.5（1）解：按照自然数序数理论

3、加法定义，（2）解：按照自然数序数理论乘法定义6证明：当时，命题成立.（反证法）7证明：当时，命题成立.（）设时命题成立.角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付角的邮票.在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付角的邮票.综合、，命题对于不小于8的所有自然数成立.8证明：（1）（2）当时，命题成立.假设时命题成立，即.那么时，原条直线有个交点.由条件知，第条直线与原条直线各有一个交点，且互不相同.故新增个交点，所以.综合、，

4、命题对于不小于2的所有自然数成立.9举例：正整数集N上定义的整除关系“

5、”满足半序关系.证明：（1）（自反性）任意的正整数，总有；（2）（反对称性）如果，那么；（3）（传递性）如果，那么.通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.10证明：设，且①②若，则.若.令是所有不属于的自然数组成的集合，则是的非空子集，按照最小数原理，中有最小数，设为.由①知，于是存在自然数，使，这样就有，所以，但根据②有，这与矛盾.所以.11证明：（1）根据自然数减法定义有，，两式相加得：，于是，若，则若，则（2）（3）先证事实上，由可知要证明的自然数乘法对减法的

6、分配律成立.由此，为了证明（3），只要证明，根据（1）上式就是于是只要证明显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.12证明：（1）根据自然数除法定义有，两式相乘，得，所以有：若，则；若，则（2），根据除法定义，（2）成立.（3），根据除法定义，（3）成立.13证明：.14证明：设，下，下面证明三种关系有且仅有一个成立.（1）先证明三个关系中至多有一个成立.假若它们中至少有两个成立，若令同时成立，则存在，使得：于是，与矛盾.同理可证，任意两种关系均不能同时成立.（2）再证明三中关系中至少有一个成立.取定，设是使三个关系中至少有一个成立的所有的集

7、合，当时，若，则成立；若，则存在，使得，这时成立.因此.假若，即三个关系中至少有一个成立.当时，存在，使得，则，即成立.当时，存在，使得，若，就有；若，就有，且，使得，即成立.综上，，从而.15证明：，，16证明：因为，且，，所以，即17证明：因为，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而是奇数，于是，同理有，两式相加：，所以.18解：因为，所以和必为一奇一偶.若为偶数，可验证质数，则若为偶数，可验证质数，则所以.19证明：根据减法是加法的逆运算知，设是有理数，是这样一个数，它与的和等于．即．但是，我们有(加法结合律)　　　　

8、　　　因此，这个确定的有理数，它与的和等于，　　又如果差为，则有，于是，两边同加有：即差只能是，定理得证．20证明：做差，，.所以有21证明：首先证明当且仅当.   事实上，若，当时，且，即;当时，,有,且,故.反之，若,当时，;当时，.   下面来证明：.事实上，对于显然有：    故有.   由上面的讨论知，.   另一方面，.   故.22证明:(反证法)设其中是正整数,不妨假定互素,取自然数,用乘下列级数表达式两边:,得:令,于是,则应为正整数,应为整数.但是因为,故,即不可能是整数,产生矛盾,所以是无理数.23证明：假设两边次方得

9、，但是所以，所以不是整数，这与已知条件矛盾，所以是无理数.24证明：假设，所以，因为，所以但是当时，上式明显不成立；当时，上式与矛盾.所以，不是有理数，又可以证明是