一道高考代数选择题的源流探析

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1、一道高考代数选择题的源流探析邓超(委底市外国语学校湖南委底417000)2009年辽宁高考数学卷有道值得探究的选择题：若满足，满足2x+2(x-l)=5,则+=()0(A)⑹3(C)(D)4这是一道以含指数函数与对数函数的方程为背景，以化归思想、数形结合思想、函数方程思想为依托，以数式求值为探究目标的高考题。它以教材习题和己有竞赛试题为重要命题参考，对它们推陈出新，改头换面，在似曾相识中考查学生的灵活应变能力和运用己有知识解决问题的能力。1.问题化归，探究根源人教版高中数学必修1(A版)P91练习］借助计算器或计算机，

2、用二分法求方程区间(2,3)内的近似解(精确到0.1)。第9届希望杯高二竞赛题，设依次是方程的根，则该赛题主要解法有两种。解法1:构造函数，用图象求解由题设可知，是函数两图象交点A的横坐标，是函数两图象交点B的横华标，由于函数的图象关于直线对称，乂互相垂直可知两交点A、B关于直线对称，而相交于点，故。解法2:构造函数，用函数单调性求解。因为是方程的根，所以，即。①②，将①②代入方程得：。③又因为是方程的根，所以.。④若构造函数，由③④知，，乂在R上单调递增，故，即。2.剖析试题，揭示木质综合以上两种基木的解法知，该希望

3、杯赛题融基础知识、思想方法、思维能力于一体，让学生从不同角度，运用不冋方法来考虑问题，给学生提供了较广阔的思维空间，耐人寻味！而2009年辽宁理科高考卷第12题也正好迎合了这种命题立意。试想：比照解法1，将题中方程式，2x+2(x-l)=5化归变形为，，不就是那道希望杯试题的变式吗？显然为函数的图象交点A的横坐标，为函数的图象交点B横坐标，而的图象关于直线对称，又与互相垂直，可知两交点A、B关于直线对称，而与交于点，所以。比照解法2,将题中方程式化归变形为，将变形为，从而构造单调函数，则有，所以，故。纵观两道试题的第一

4、种解法，不难看出：两道试题中，都涉及到两个函数的图象关于某直线对称，第三个函数的图象本身关于这条直线对称，且与那两个函数的图象分别有一个交点A、B，由于第三个函数的图象本身关于那条直线对称，结果呢？不但A、B两点都在第三个函数的图象上，而且也关于那条直线对称。于是，我们不难得出如下猜想。猜想一：若方程有唯一根，H函数存在反函数，函数的图象本身关于直线对称，方程=有唯一根为，则必有或。猜想二：若方程有唯一根，方程存在唯一根，函数与的图象关于直线对称，函数的图象本身关于直线对称，则必有或。纵观两道试题的第二种解法，则显然基

5、于以下事实：若在公共定为域为D，函数在D内严格单调递增(减)，且，，，贝IJ。1.论证猜想，举例应用命题1:若方程有唯一根，且函数存在反函数，函数的图象本身关于直线对称［即］,方程=冇唯一根为，则或。证明：，，①又为方程的根，②由存在反函数，并结合①②知，，即同理可得。推论1:若方程有唯一根，方程存在唯一根，函数与的图象关于直线对称，函数的图象本身关于直线对称，则必有或。证明：因为方程有唯一根，可设与的图象交于点，又方程冇唯一根，可设与的图象交于点，而函数与的图象关于直线对称，函数的图象本身关于直线对称，故交点A、B必

6、然关于直线对称，而点关于直线对称的点为（，），所以必有，，即，。命题2:若函数在公共定为域为D,函数在D内严格单调递增（减），且，，则以上述推论为依据，可迅速获解如下问题。例1:设方程及方程的根分别为，求的值。略解：设，，，由命题1知，即.变式1:设方程及的根分别为，试确定满足的关系式.略解：设，，，由于的图象关于对称，的图象本身关于对称由推论1知，，所以为所求。例2:（第25届全苏奥林匹克题）实数满足等式，，求的值。略解：原式即，，构造函数，，又在R上递增，，故。例3:（94年高中联赛题）已知，，且，，贝IJ。略解：

7、依题意有，，构造函数，则，又在上递增，且，所以故.1.对教学的启示4.1注意基础是教学的根本，教学中要坚持最基础的知识才是最常用的知识的原则，狠抓基础知识、基本技能、基本思想方法的教学，注重知识发生、发展过程，重视通性通法。4.2注重思想、方法的挖掘，提炼与渗透，增强学生运用数学方法解决问题的意识和能力。4.3重视培养学生探究能力，数学探究是新课程理念下一种新的学4方式，是培养学生创新精神和实践能力的重要途径。