2010年考研数学一真题及答案

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1、2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）2(1)极限賌䁱(െ)(ሻ)(A)1(B)(C)െ(D)െ【考点】C。【解析】【方法一】这是一个“1”型极限2(െ)(ሻ)െሻെ賌䁱賌䁱1ሻെሻെെሻെ(െ)(ሻ)െ(െ)(ሻ)(െ)(ሻ)【方法二】2䁡原式賌䁱(െ)(ሻ)2െሻെ而賌䁱䁡賌䁱

2、䁡(1ሻ)(െ)(ሻ)(െ)(ሻ)െሻെ賌䁱(等价无穷小代换)(െ)(ሻ)െ2则賌䁱െ(െ)(ሻ)【方法三】对于“1”型极限可利用基本结论：若賌䁱(),賌䁱(),且賌䁱则賌䁱1ሻ,求极限2(െ)(ሻ)由于賌䁱賌䁱(െ)(ሻ)(െ)2ሻെ賌䁱െ(െ)(ሻ)2则賌䁱െ(െ)(ሻ)【方法四】2−

3、െሻ賌䁱賌䁱െሻ2賌䁱(1െ)賌䁱1ሻെെ综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数(ሺ)由方程ሺ确定，其中为可微函数，且㌰㌰2,则ሻ。(A)(B)(C)(D)【答案】B。【解析】㌰㌰ሻ㌰㌰㌰12221ሻ2因为㌰㌰1㌰,22㌰㌰1㌰

4、11㌰㌰1㌰22㌰ሻ㌰㌰㌰1212所以ሻ㌰㌰㌰222综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分䁱1䁡2(1)(3)设䁱ሺ䁡为正整数，则反常积分䁡的收敛性(A)仅与䁱的取值有关(B)仅与䁡的取值有关(C)与䁱ሺ䁡的取值都有关(D)与䁱ሺ䁡的取值都无关【答案】D。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在ሻ和1−时无界䁱䁱䁱1䁡2(1)1䁡2(1)1䁡2(1)

5、2ሻ䁡䁡1䁡2䁱1䁡2(1)在反常积分2中，被积函数只在ሻ时无界。䁡䁱䁡2(1)由于䁡，䁱2䁡(1)䁡賌䁱ሻ1䁡䁱11䁡2(1)1已知反常积分2收敛，则2也收敛。䁡䁡䁱1䁡2(1)在反常积分中，被积函数只在1−1䁡时无界，由于2䁱䁡2(1)䁡䁱䁡2(1)2䁡䁡䁱(1)賌䁱−1賌䁱−1(洛必达法则)111(1)2䁱11䁡2(1)且反常积分1收敛，所以1䁡收敛21

6、2䁱1䁡2(1)综上所述，无论䁱ሺ䁡取任何正整数，反常积分䁡收敛。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分䁡䁡䁡(4)賌䁱䁡賌11(䁡ሻ賌)(䁡2ሻ2)1111(A)(B)(1ሻ)(1ሻ2)(1ሻ)(1ሻ)111111(C)(D)(1ሻ)(1ሻ)(1ሻ)(1ሻ2)【答案】D。【解析】因为䁡䁡䁡䁡䁡䁡䁡賌䁱賌11(䁡ሻ賌)(䁡2ሻ2)䁡賌䁱賌11䁡(1ሻ賌)䁡2(1ሻ

7、()2)䁡䁡䁡䁡11䁡賌䁱賌11(1ሻ賌)(1ሻ()2)䁡2䁡䁡111(1ሻ)(1ሻ2)综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设为䁱䁡矩阵，为䁡䁱矩阵，为䁱阶单位矩阵，若,则(A)秩r䁱ሺ秩r䁱(B)秩r䁱ሺ秩r䁡(C)秩r䁡ሺ秩r䁱(D)秩r䁡ሺ秩r䁡【答案】A。【解析】因为为䁱阶单位矩阵，知䁱又因min(ሺ()),故䁱ሺ䁱()另一方面，为䁱

8、䁡矩阵，为䁡䁱矩阵，又有䁱ሺ()䁱可得秩r䁱ሺ秩r䁱综