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1、斜抛运动知识的扩展性应用安徽省肥东一中李昌栋（邮编231600）YθV0XO首先回顾一下斜抛运动的一般规律：设将一质点以初速V0抛出，抛射角为θ，如图。不计空气阻力（下同），则：竖直位移和水平位移分别为：竖直速度和水平速度分别为：轨迹方程为：Y=Xtgθ－X2几个重要结论（落地点与抛出点在同一水平面上）：水平射程为：，射高为：,飞行时间：T=。对同一初速V0有两个抛射角和θ2对应的水平射程X相等，且θ1+θ2=90°当θ1=θ2=45°时X最大为下面研究几个问题：一、相同的水平射程问题从离地面的高度为h的固定点Α，将甲球以速度V0抛出，抛射角为α，0<α<π/2，若在
2、Α点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板作完全弹性碰撞，并使碰撞点与Α点等高，如图所示，则当平板倾角θ为恰当值时（0<θ<π/2），甲球恰好能回到Α点。另有一小球乙，在甲球自Α点抛出的同时，从Α点自由落下，与地面作完全弹性碰撞。试讨论V0、α、θ应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到Α点。这是一道全国竞赛题。要迅速解答此题，只要抓住两点：（1）甲、乙同时从Α出发并同时回到Α点，运动时间相同。（2）乙先做自由落体运动，后作竖直上抛运动；甲来回均为斜抛运动，且落地点与抛出点在同一水平面上，水平射程相同。初速率相同。其中关键在于对甲的
3、运动分析。7解答如下：甲、乙从Α点出发到回到Α点所用时间有：t甲=t乙……①t乙=2……②设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为α´,如图所示.则α和α`相等或互余。即：α´=α 或α´=-α ③且t甲=＋=④下面分两种情况讨论题求条件。I.α´=α的情形：表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反弹出时速度的方向相反,故甲球必沿板的法线方向射向平板,反弹后,甲球沿原来的路径返回Α点,因此有α´=α,α+θ=所以有θ=-α…… ⑤。 因为 t甲=t乙故有=2…… ⑥ 即 sinα= 或 α=sin-1 …… ⑦
4、 7 因 sinα<1,由⑨式得v0> ……⑧ 当满足v0> 且 α=sin-1 、θ=-α时甲球才能沿原路返回Α点并与乙球相遇. Ⅱ.而α´=-α的情形,表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板,沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹出,然后甲球沿另一条路径回到Α点.由图中的几何关系可知 α+(α-α´)+θ= 由④⑤两式,得θ= …… ⑨ sinффπ02π 因为t甲=t乙,故有(sinα+cosα)=2…… ⑩ 解得sin(+α)= α=s
5、in-1- …… 7因 0<α<,故有sin(+α)>sin= ， 且sin(α+)≤1， 故>V0≥ …… 综合以上讨论,结论为:当V0>,且当α=sin-1,θ=-α,甲球沿原路径返回Α点的同时,乙球也回到Α点;当>V0>,且当α=sin-1-,θ=,甲球还可沿另一路径回到Α点,这时,乙球也正好回到Α点.二、击中空间某一定点的最小速率问题αYXOP(x、y)V0βH设从空间某一定点0发射一质点要击中另一定点P(x、y)，则所需最小速率为多少？解：取O点为坐标原点建立直角坐标系如图所示不难得到轨迹方程为：Y=Xtgα－X
6、2=Xtgα－（1+tg2α）.整理得到：tg2α－tgα+（1+Y）=0.设两根分别为tgα1、tgα2，则由韦达定理得：tg（α1+α2）=∴α1+α2=+β7当α1=α2=+时，对于确定的X、Y，V0有最小值。其实，如果只要求V0的最小值，还可以由判别式入手∵tg2α－tgα+（1+Y）=0.要使tgα有解，判别式Δ≥0－4（1+Y）≥0.不难得到：V20min=g（+Y）,V0min=例题：足球运动员在11m远处的罚球点准确地从横梁下边沿踢进一球。横梁下边沿离地高度为h=2.5m,足球质量为m=0.5kg，空气阻力不计。必须传递给这个足球的最小能量Emin是多
7、少（此为全俄中学生赛题）？由以上结论可知：Emin=mV20min=mg（+Y）=34J（此题可以从动能表达式、速度和位移公式入手求解）三、对于确定的初速率，求击中某一定水平距离处的最高点问题。在问题二中有：tg2α－tgα+（1+Y）=0.要使α有解，判别式Δ≥0－4（1+Y）≥0.不难得到Ymax=－.即Ymax=－当X=0时，得到Ymax=，此即竖直上抛运动的最大高度。四、安全抛物面问题如图所示，在三维空间中,当V0一定，能够击中XOZ平面中某一定点（X、Z）正上方的最大高度Y是多少呢？XYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)O由问题三可得到：Y=
