三年级奥数:配对求和

三年级奥数:配对求和

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1、配对求和引入:被人誉为“数学王子”的高斯在年仅10岁时就以一种非常巧妙的方法很快求出1+2+3+4+5+、、、+99+100的结果。高斯是怎样求出这个和的呢?这就是我们要研究的这种求和的方法。我们利用高斯的巧算方法得出这样的公式:总和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1末项=首项+(项数-1)×公差第一类题型例题1:计算:1+2+3+4+5+、、、+98+99+100.思路点拨:此数列是一个等差数列,公差是1,我们可以利用“总和=(首项+末项)×项数÷2”的求和公式来解。解:1+2+3+4+5+、、、+98+9

2、9+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+、、、+(50+51)=(100+1)×(100÷2)=101×50=5050同步精炼:1、1+2+3+4+5+6+7+8+9+102、2+4+6+8+、、、+30第二类题型例题1:计算:2+5+8+11+14+17+20思路导航:本题是一个等差数列,公差是3.2、5、8、11、14、17、20,一共有7个数,如果我们仍像例1那样每两个数组成一个组,就多出一个数,那怎么办呢?我们不妨这样想:25811141720+20171411852222222222222227个22是1

3、54,而154是两组2到20的和,一组2到20的和一组2到20的和就是154÷2=77,由此我们得出这样的规律,当加数是单数时,就可用第一个数即前项与最后一个数(末项)相加,乘以这组数的个数(项数),再除以2,就能求出正确结果了。其实这种方法也适用于加数的个数成双的求和:解:2+5+8+11+14+17+20=(2+20)×7÷2=22×7÷2=77同步精炼:一、计算:1、18+19+20+21+22+232、100+102+104+106+108+110+112+114二、试用两种方法计算1、73+77+81+85+89+932

4、、995+996+997+998+999三、求出下列题的和。(1)从1到100的所有单数的和。(2)从1到100的所有双数的和。第三类题型例题1:计算:(1)100+95+90+、、、+15+10+5(2)1+2+3+4+、、、+99+100+99+98+、、、+3+2+1.思路点拨:(1)仔细观察,可以发现此数列是一个等差数列,公差是5,我们可以利用求和公式来解。(2)通过观察发现,如果在数列中加上一个100,原式就可以得到两个相同的等差数列的和。解:(1)100+95+90+、、、+15+10+5=(100+5)×20÷2=2

5、100÷2=1050(2)1+2+3+4+、、、+99+100+99+98+、、、+3+2+1=(1+2+3+4+、、、+99+100)×-100=(1+100)×100÷2×2-100=101×100-100=10100-100=10000同步精炼:1、求和(1)1+3+5+7+、、、+37+39(2)2+6+10+14+、、、+210+2142、计算:4+7+10+13+、、、+298+301+298+、、、+13+10+7+4第四类题型例题1:小红读一本长篇小说,第一天读了30页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多4页,最

6、后一天读了70页,刚好读完。问:这本小说共有多少页?思路导航:每天看的页数组成等差数列,公差是4,首项是30,末项是70.要求这本小说共有多少页,应先求出小红看了多少天。解:天数(项数)=(末项-首项)÷公差+1=(70-30)÷4+1=11总页数=(30+70)×11÷2=100×11÷2=550练习:1、影剧院有座位若干排,第一排有25个座位,以后每排比前一排多3个座位,最后一排有94个座位。问:这个影剧院共有多少个座位?2、有一堆木材堆在一起,一共25层,第一层有3根,第二层有4根,下面每一层比上一层多一根,这堆木材共有多少

7、根?第五类题型例题1:计算:(2+4+6+8+、、、+18+20)-(1+3+5+7+、、、+17+19)思路点拨:观察题中被减数与减数,可以看出都是一组公差为2的等差数列,所以先分别求出它们的和,再求差。解法一:(2+4+6+、、、+18+20)-(1+3+5+、、、+17+19)=(2+20)×10÷2-(1+19)×10÷2=22×10÷2-20×10÷2=110-100=10也可以这样想:把被减数中每一个加数分别减去减数中的每一个加数,再求和。解法二:(2+4+6+、、、+18+20)-(1+3+5+、、、+17+19)=

8、(2-1)+(4-3)+(5-4)+、、、+(18-17)+(20-19)=10同步精炼:计算:(1)1999-1998+1997-1996+、、、+3-2+1(2)(1+3+5+、、、+79)-(2+4+6+、、、+78)(3)100-98+96

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