微积分思想在高中物理中的体现与应用

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1、微积分思想在高中物理中的体现与应用孔劲松湖北省黄石市第二中学435003摘要运用微积分思想解决实际问题在高中物理中时有体现，虽然高考大纲未作要求，但实际上学生在高中数学学科中已经学习了微积分的初步知识，若能初步学会运用微积分的初步知识来解决物理问题，思维定能达到新的飞跃，是高中生異有较高物理素质的表现，也为将来进入大学继续学习打下很好的基础。关键词微积分思想高中物理初步应用微元积分运用微积分思想解决实际问题在高中物理中时有体现，由于大纲未作要求，同学对其感觉较为生僻，但若能有所涉猎，思想定能达到新的飞跃，是高中生具有较高物理素质的表现，也会为将来进入大学继续学习

2、打下很好的基础。微积分思想应用于物理时称为微元法，其意思是在处理物理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的办法。它的载体涉及物理学的力、热、电、光、原子等诸多物理领域，纳了近似、对称、等效、隔离等多种科学方法，也需要三角解析几何、方程、数列、极限、数学归纳等数学知识和方法作为支持，现禀着“大处着眼，小处着手”的原则，将高考中有关此方面的试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为“化整为零，积零为整”解题法。一、高中物理中运用初步微积分思想解题的基木思路对形如：dY=X·dX（dX和dY表示X与Y的小量）推得Y=

3、l/2·X·X（即∑X·dX=l/2·X·X）的函数的解释。所谓小量，即趋近于零的微元的数学表达形式。之前等式意味变量丫的小量等于变量X于X的小量的乘积。之后等式意味着变量X与丫的关系。下面我们从一个侧面尝试将其推导出。如图二，求丫=义在0到X*围成的阴影三角形的面积。我们知道其面积为Y=l/2·X*·X*（1），换种角度，我们从微积分思想来看，将三角形沿Y轴方向无限分割成无数个小直角梯形。每个厚度为dX,在任意X属于0到X*处宵小梯形，其面积为dY=X&m

4、iddot;dX（近似看成矩形，底乘高）故无限累加后面积Y=∑dY=∑X·dX;和（1）式比较可知:∑X·dX=l/2·X·X。即为所证。从另一个角度看，我们知道，积分为求导的逆运算。若有函数丫=l/2·X·X,对其求导：dY/dX=l/2（X·X）’=l/2·2·X=X；将等式左边dX移动到＞6•边即：dY=X·dX。由上我们可以看出，变量X和丫的小量关系我们可以得到其整体关系，同吋由整

5、体关系也可以得到小量关系。在此并没冇严格的数学证明，只是从侧面将其推导，以求在高中知识范围内能达到理解。下面我们在举一例体会苏在实际问题中的应用。例：一电容为C、正对面积为S、两极板间距为L的平行板电容器接于电动势为U的电源两极（下极板接负极）。电容器极板间奋单位体积分子数为N的带正电量q的小尘埃。求当电路接通后到全部尘埃被艿中一个极板吸附吋，电场力对所冇尘埃所做总功。（忽略尘埃对极板带电量的影响，忽略重力影响）为求总功，我们不妨将所有尘埃分成无数层，求出对每层所做的元功，再累加即可。如下具体操作：（化整为零）将极板围成空间沿极板平面方向切成无数小层。每曾厚度为

6、dX，在任意距下极板X处的小层中，元体积为dV=dX·S;元分•数为dN=N·dX·S；此小份所受电场力dF=N·dX·S·q·U/L；对此小份所做元功dW=N·S·q·U/L·dX·X；这就是小量之间的关系。再由我们所知的求和的转换直接得出（积零为整）W=∑dW=N·S·q·U/L·∑dX·X=N·

7、;S·q·U/L·l/2·X·X此处我们将X从0累加到L,故W=N·S·q·U/L·(l/2·L·L—0)=l/2·N·S·q·U·L。即为所求。在解题中无门提到了“无限分割”，使每份厚度dX趋近于零。实际上无限分割与逼近是人类研宄数学与物理学的一种重要思想方法。我国魏晋吋人刘徽首创的“割圆术”就是应用此思想将正n边形无限分割与接近求得了圆周

8、率π的精确值。在他