欢迎来到天天文库
浏览记录
ID：22295185
大小：194.82 KB
页数：10页
时间：2018-10-28
《条件数学期望及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、条件数学期望及其应用Thewaysoffindingtheinversematrixandit’sapplicationAbstract：Thepassageliststhewaysofcalculatingthefirsttypeofcurvilinearintegral,anddiscussesit’sapplicationingeometryandinphysical.Keywords：Curvilinearintegral;Continuous;Integrable;Lateralarea.
2、0前言在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.1条件数学期望1.1条件数学期望的定义定义1设X是一个离散型随机变量，取值为｛&,&，•••｝，分布列为｛/U2，一｝.乂事件A有P(A)〉0,这时为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果
3、有4、A).若IA)dx5、;==XiY=.y,.V=1，2,…若ZWAi;<6、o°，I则E[XY=yi]=XxiPi]ji为随机变量x在y=条件下的条件数学期望.定义4设(x，y)是连续型二维随机变量，随机变量x在y=>，的条件T的条件密度函数为/?X7、y(X8、jO，若fx]pX]Y(xy)dx9、Y=}']=J2xPxY(xy^x为随机变量X在{y=W条件下的条件数学期望.1.2条件数学期望的性质定理1条件期望具有下面的性质：(1)E(af+b/jG)=aE^G)+/?£("10、G)，其中且假定£«+/7//11、G)存在；(2)E[E^12、G13、)]=E(^)；(3)如果f为G可测，则£«14、GX;(1)如果《与<7代数G独立,则£(<15、G)=贫;(2)如果G,是<7代数G的子代数，则E[(E(^16、G))17、G1]=£(^18、G,)；(3)(J⑼不等式)如果/是/?上的下凸函数，则f(E^19、G))=£(/(^)20、G)；定理2条件期望的极限定理：(1)单调收敛定理：若O(a.s，则在｛£(f21、G)〉-oo｝上，则22、G)=lim£(A23、G)•n—(2)fhr⑽引理:若fy，似，则在｛E《24、G)〉-oo｝上，则£(limsup^n25、G)=limsup£26、(^n27、G).(3)控制收敛定理：若IS可积，且么->《，似或P，贝ijlim£(28、^-^29、30、G)=O.1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在苏定义中没有含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧.木文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论.方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解.例1设《^，…人时独立同分布随机变量.E^<-,记5=玄么，求k=£(么31、S,々=1，2，一，".解易证£(632、幻=£(433、幻，/巧.贝1]£(534、5)=^15)=35、5,/=1,2,...,zz即SE(^k36、S)=—，“.5，众=l，2，".，nn方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的CT域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和.n例2设有正态样本％,，…，yv(o,<72),统计量r=，求e(jva2it).解令S=Yx2k,则E(X2kT)=-E(ST).作正交变换:k=、n%)y2•••=cA⑩⑩•A;其中C为正交阵，第一行为(则有ey=o,cov(x,y)=cct=in,即r与玄｝；2独立，｝；k=2/V(0，(72)，々二2,37、…，《，从nnl^S=±X2k=±Yk2k=炎=1T*2_n=—+Yr,2,r2关于cr(r)可测打k=2所以E(XlT)=-E(ST)n由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于CT代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解.1.4全期望公式设事件B為，…，Bn是一完备事件组，即B、，B2，…，Bn互不相交，nP(B,)>O,1
4、A).若IA)dx5、;==XiY=.y,.V=1，2,…若ZWAi;<6、o°，I则E[XY=yi]=XxiPi]ji为随机变量x在y=条件下的条件数学期望.定义4设(x，y)是连续型二维随机变量，随机变量x在y=>，的条件T的条件密度函数为/?X7、y(X8、jO，若fx]pX]Y(xy)dx9、Y=}']=J2xPxY(xy^x为随机变量X在{y=W条件下的条件数学期望.1.2条件数学期望的性质定理1条件期望具有下面的性质：(1)E(af+b/jG)=aE^G)+/?£("10、G)，其中且假定£«+/7//11、G)存在；(2)E[E^12、G13、)]=E(^)；(3)如果f为G可测，则£«14、GX;(1)如果《与<7代数G独立,则£(<15、G)=贫;(2)如果G,是<7代数G的子代数，则E[(E(^16、G))17、G1]=£(^18、G,)；(3)(J⑼不等式)如果/是/?上的下凸函数，则f(E^19、G))=£(/(^)20、G)；定理2条件期望的极限定理：(1)单调收敛定理：若O(a.s，则在｛£(f21、G)〉-oo｝上，则22、G)=lim£(A23、G)•n—(2)fhr⑽引理:若fy，似，则在｛E《24、G)〉-oo｝上，则£(limsup^n25、G)=limsup£26、(^n27、G).(3)控制收敛定理：若IS可积，且么->《，似或P，贝ijlim£(28、^-^29、30、G)=O.1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在苏定义中没有含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧.木文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论.方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解.例1设《^，…人时独立同分布随机变量.E^<-,记5=玄么，求k=£(么31、S,々=1，2，一，".解易证£(632、幻=£(433、幻，/巧.贝1]£(534、5)=^15)=35、5,/=1,2,...,zz即SE(^k36、S)=—，“.5，众=l，2，".，nn方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的CT域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和.n例2设有正态样本％,，…，yv(o,<72),统计量r=，求e(jva2it).解令S=Yx2k,则E(X2kT)=-E(ST).作正交变换:k=、n%)y2•••=cA⑩⑩•A;其中C为正交阵，第一行为(则有ey=o,cov(x,y)=cct=in,即r与玄｝；2独立，｝；k=2/V(0，(72)，々二2,37、…，《，从nnl^S=±X2k=±Yk2k=炎=1T*2_n=—+Yr,2,r2关于cr(r)可测打k=2所以E(XlT)=-E(ST)n由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于CT代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解.1.4全期望公式设事件B為，…，Bn是一完备事件组，即B、，B2，…，Bn互不相交，nP(B,)>O,1
5、;==XiY=.y,.V=1，2,…若ZWAi;<
6、o°，I则E[XY=yi]=XxiPi]ji为随机变量x在y=条件下的条件数学期望.定义4设(x，y)是连续型二维随机变量，随机变量x在y=>，的条件T的条件密度函数为/?X
7、y(X
8、jO，若fx]pX]Y(xy)dx9、Y=}']=J2xPxY(xy^x为随机变量X在{y=W条件下的条件数学期望.1.2条件数学期望的性质定理1条件期望具有下面的性质：(1)E(af+b/jG)=aE^G)+/?£("10、G)，其中且假定£«+/7//11、G)存在；(2)E[E^12、G13、)]=E(^)；(3)如果f为G可测，则£«14、GX;(1)如果《与<7代数G独立,则£(<15、G)=贫;(2)如果G,是<7代数G的子代数，则E[(E(^16、G))17、G1]=£(^18、G,)；(3)(J⑼不等式)如果/是/?上的下凸函数，则f(E^19、G))=£(/(^)20、G)；定理2条件期望的极限定理：(1)单调收敛定理：若O(a.s，则在｛£(f21、G)〉-oo｝上，则22、G)=lim£(A23、G)•n—(2)fhr⑽引理:若fy，似，则在｛E《24、G)〉-oo｝上，则£(limsup^n25、G)=limsup£26、(^n27、G).(3)控制收敛定理：若IS可积，且么->《，似或P，贝ijlim£(28、^-^29、30、G)=O.1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在苏定义中没有含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧.木文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论.方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解.例1设《^，…人时独立同分布随机变量.E^<-,记5=玄么，求k=£(么31、S,々=1，2，一，".解易证£(632、幻=£(433、幻，/巧.贝1]£(534、5)=^15)=35、5,/=1,2,...,zz即SE(^k36、S)=—，“.5，众=l，2，".，nn方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的CT域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和.n例2设有正态样本％,，…，yv(o,<72),统计量r=，求e(jva2it).解令S=Yx2k,则E(X2kT)=-E(ST).作正交变换:k=、n%)y2•••=cA⑩⑩•A;其中C为正交阵，第一行为(则有ey=o,cov(x,y)=cct=in,即r与玄｝；2独立，｝；k=2/V(0，(72)，々二2,37、…，《，从nnl^S=±X2k=±Yk2k=炎=1T*2_n=—+Yr,2,r2关于cr(r)可测打k=2所以E(XlT)=-E(ST)n由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于CT代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解.1.4全期望公式设事件B為，…，Bn是一完备事件组，即B、，B2，…，Bn互不相交，nP(B,)>O,1
9、Y=}']=J2xPxY(xy^x为随机变量X在{y=W条件下的条件数学期望.1.2条件数学期望的性质定理1条件期望具有下面的性质：(1)E(af+b/jG)=aE^G)+/?£("
10、G)，其中且假定£«+/7//
11、G)存在；(2)E[E^
12、G
13、)]=E(^)；(3)如果f为G可测，则£«
14、GX;(1)如果《与<7代数G独立,则£(<
15、G)=贫;(2)如果G,是<7代数G的子代数，则E[(E(^
16、G))
17、G1]=£(^
18、G,)；(3)(J⑼不等式)如果/是/?上的下凸函数，则f(E^
19、G))=£(/(^)
20、G)；定理2条件期望的极限定理：(1)单调收敛定理：若O(a.s，则在｛£(f
21、G)〉-oo｝上，则
22、G)=lim£(A
23、G)•n—(2)fhr⑽引理:若fy，似，则在｛E《
24、G)〉-oo｝上，则£(limsup^n
25、G)=limsup£
26、(^n
27、G).(3)控制收敛定理：若IS可积，且么->《，似或P，贝ijlim£(
28、^-^
29、
30、G)=O.1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在苏定义中没有含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧.木文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论.方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解.例1设《^，…人时独立同分布随机变量.E^<-,记5=玄么，求k=£(么
31、S,々=1，2，一，".解易证£(6
32、幻=£(4
33、幻，/巧.贝1]£(5
34、5)=^15)=
35、5,/=1,2,...,zz即SE(^k
36、S)=—，“.5，众=l，2，".，nn方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的CT域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和.n例2设有正态样本％,，…，yv(o,<72),统计量r=，求e(jva2it).解令S=Yx2k,则E(X2kT)=-E(ST).作正交变换:k=、n%)y2•••=cA⑩⑩•A;其中C为正交阵，第一行为(则有ey=o,cov(x,y)=cct=in,即r与玄｝；2独立，｝；k=2/V(0，(72)，々二2,
37、…，《，从nnl^S=±X2k=±Yk2k=炎=1T*2_n=—+Yr,2,r2关于cr(r)可测打k=2所以E(XlT)=-E(ST)n由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于CT代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解.1.4全期望公式设事件B為，…，Bn是一完备事件组，即B、，B2，…，Bn互不相交，nP(B,)>O,1
此文档下载收益归作者所有
