实验五矩阵数学建模

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1、实验五++矩阵数学建模实验五矩阵运算、分解和特征值【实验目的】1.矩阵的基本运算。2.矩阵的LU、QR和Cholesky分解。3.矩阵的特征向量和特征值。【实验内容】问题1:求线性方程组?2xl?x2?5x3?x4?8??xl?3x2?6x4?9??2x2?x3?2x4??5??xl?4x2?7x3?6x4?0的解。(提示：对于线性方程组Ax?B,先求A的行列式；若A可逆，?1则解为x?AB)问题2:?123??(1)求矩阵A??456??的LU分解。?780????123???456?的QR分

2、解。(2)求矩阵A???789???101112??(3)求5阶pascal矩阵的Cholesky分解(其中5阶pascal矩阵可以用命令pascal(5)生成)问题3:(1)求矩阵A???3?l??的特征值和特征向量。？?13??23??(2)求矩阵A??45??的奇异值分解。?84???思考：[U,S,V]=svd㈧和[U,S,V]=svd(A,O)结果有什么不同?可以用命令helpsvd看使用说明。【相关内容介绍】(一)矩阵的基本运算。?311??11?1????已知矩阵A??212,B?

3、2?10????,求?123??101?????(1)A?B,(2)6A,(3)AB,(4)A的行列式，(5)A的逆A?l。A=[3,14；2/l,2;l/2/3]；B=[l,l,-l；2/-l,0;l,0/l];A+B6*AA*Bdet(A)inv(A)大家算一下：A.*B%运算符*前加多一个点.，组成了一个新运算％々的行列式％々的逆A?1比较这个运算和A*B有什么不同？(一)矩阵的LU、QR和Cholesky分解在实际运用屮，为了简化计算，我们常常要对矩阵做一些特殊的分解，最常用的分解是LU

4、、QR和Cholesky分解。1.矩阵的LU分解LU分解是将一个方阵表示为一个（排列的）下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。所谓排列的下三角矩阵是指经过列的一些互换后，可以变成下三角矩阵。MATLAB命令为[L,U]=lu㈧矩阵A的LU分解，输出中的L,U分别代表下三角矩阵和上三角矩阵。例如，利用LU分解法可将A和B二矩阵分别拆解为上、下三角形矩阵注意分解矩阵B得到的第一个矩阵[LB]是排列的下三角形矩阵，如果第二、三列互换，则此变成完全的下三角形矩阵。?100??12?1??12?1??????

5、?210*0?11=?2?53注意：？？???？？?C，但是？？111??00?2???1?30????????100??12?l?????C=[LC][UC]???210?*?0?ll???lll??00?2?????3???0.510???2?5???事实上，C=[LC][UC]=?100*0?0.50.5?????0.511??00?2?????2.矩阵的QR分解QR分解把矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的初等变换形式的乘积，比如把矩阵A进行如下分解AP=QR，其中P为初等变换矩阵。MATL

6、AB命令为[Q,R]=qr（A煉阵A的QR分解，输出中的Q,R分别代表正交矩阵和上三角矩阵。1.矩阵的Cholesky分解Cholesky分解把矩阵分解为上三角矩阵和其转置的乘积，即A二RTR,其中R为上三角矩阵。MATLAB命令为R=chol(A)矩陈A的Cholesky分解，输出中的R代表上三角矩阵。(一)矩阵的特征值和特征向量情形1:假若A是一个方阵，那么[X,D]=eig(A)得到D的对角线元素是特征值，X是矩阵，它的列是相应的特征向量。情形2:假若矩阵A的行数大于列数，那么[U,S,V

7、】=svd(A)给出的是满足A=USV'的U?S,V,其中U,V是方阵，而S是形如?al?????0????0????????an??0????0??的矩阵。这可以看作是情形1的推广。上面的这种分解称为矩阵A的奇异值分解，而U,S,V称为奇异值分解三元组。补充(奇异解分解的定义)：满足A=U*S*VU和V中分别是A的奇异向量，而S中是A的奇异值。AA'的特征向量组成U,特征值组成S'S,A'A的特征向量组成V，特征值(与AA'相同)组成SS'。因此

8、，奇异值分解和特征值问题紧密联系。例如，求教材《数学模型》P247的矩阵?0??0?1A???O?0??0?10111??00111?10100?跟教材比较，是否一样？？的特征值与特征向量，00011?01001??01000??SVDSingularvaluedecomposition.[U,S/V]=SVD(X)producesadiagonalmatrixS/ofthesamedimensionasXandwithnonnegativediagonalelementsindecreasin