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时间:2018-10-28
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1、二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。【注意】和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.例:y=(m-2)xm2-m是关于x的二次函数,则m=()A.-1B.2C.-1或2D.m不存在二、二次函数的基本形式的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的增
2、大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.1.二次函数基本形式:的性质:由此可知:a的绝对值越大,抛物线的开口越小2.的性质:上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.3.的性质:左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下X=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.4.的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而
3、增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.向下X=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,例:已知以为自变量的二次函数的图像经过原点,则的值是三、二次函数图象的平移1.平移步骤:方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成(或)⑵沿x轴平移:向左(
4、右)平移个单位,变成(或)例:将一抛物线向下向右各平移2个单位得到抛物线的解析式为y=-x2,则原抛物线的解析式是()A.y=-(x-2)2+2B.y=-(x+2)2+2C.y=-(x+2)2-2D.y=-(x-2)2-2四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.五、二次函数图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与
5、轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.例:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图,则下列说法:①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=-1;③当x=1时,y=2a④am2+bm+a>0(m≠-1).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4练习:(1)二次函数的图像如图1,则点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,
6、函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个(1)(2)六.二次函数的性质1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.例:如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m,n(m7、是关于x的方程1-x-ax-b=0的两根,且(a8、很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:例:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然.⑴当时,抛物线开口向上,的值越大
7、是关于x的方程1-x-ax-b=0的两根,且(a
8、很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:例:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然.⑴当时,抛物线开口向上,的值越大
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