初三数学竞赛辅导教程

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1、^~1.1因式分解一、常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）1.2.3.（在已知和时此公式常变形为）4.二、例题讲解例1.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状.例2.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.（2015大同杯第四题）例3.已知实数a、b、c满足，，求的值.（2003年宇振杯第3题）例4.已知，，求证：^~一、练习题1.已知整数a、b满足，求的值.2.已知，，，求的值.3.已知a、b、c是不全相等的实数，且，，求：（1）的值

2、（2）的值4.化简：（2014大同杯第1题）5.设非零实数a，b，c满足，求的值.（2013年全国初中数学联赛第一试第1题）^~1.已知正数a、b、c满足，求的值.2.已知：，，，求的值.（2016全国初中数学联赛第二试B组第2题）^~1.2对称式与轮换对称式一、定义1.一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为元对称式，简称对称式。例如，都是对称式。2.如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。3.一个元代数式，如果交换任意两个字

3、母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个代数式为元交代式。例如，均是交代式。4.如果一个元代数式，如果将字母：以代，代代代后代数式不变，那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式。对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，是对称式也是轮换式；是轮换式，但不是对称式。二、例题讲解例1.已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，求此三角形的面积.例2.满足方程的非负整数解有几组？（2014大同杯第4题）^~例2.设x、y、z是三个互不相等的数，且，求xyz的值.例3.x1、x2、y1、y2满足x

4、12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．求y12+y22的值.三、练习题1.已知，，，求的值.2.若数组（x，y，z）满足下列三个方程：，，，求xyz的值.3.已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．^~4.不定方程的整数解共有几组？（2015大同杯第7题）5.已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ab﹣c2=﹣7，求6a+7b+8c6.已知实数a、b、c，且，若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x

5、1y2=a，x1y1+ax2y2=c．求y12+ay22的值.（2007新知杯第5题）^~1.3高斯函数一、定义实数x，用[x]表示不超过x的最大值整数，则y=[x]称为高斯函数.二、例题讲解例1.表示不大于的最大整数，求方程的所有实数解.（2006新知杯第6题）例2.对于正整数n，设是最接近的整数，求（2017全国数学联赛第一试第6题）例3.给定正实数a，对任意一个正整数n，记，这里，表示不超过实数x的最大整数。（1）若，求a的取值范围；（2）求证：（2012新知杯11题）^~二、练习题1.用表示

6、不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，求.（2016全国数学联赛第一试第1题）2.如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[-5]=-5，[-2,3]=-3，[]=1，设x、y满足方程，求[x+y].3.用表示不超过的最大整数，求方程的所有实数解.4.设表示不超过实数的最大整数，，直至2016项，其中分母为的一段共有项，只有最后一段可能不足项，求的值.（2016大同杯第6题）^~1.设表示不超过实数的最大整数，正整数n小于100且满足，这样的正整数n有几

7、个？（2000年全国初中数学联赛第一试第4题）2.设表示不超过t的最大整数，令.已知实数x满足，求.（2014全国初中数学联赛第5题）7.设表示不超过实数的最大整数，求方程-8[x]+7=0的所有解的平方和8.求满足不等式的最大正整数，其中表示不超过实数的最大整数.（2008新知杯第五大题）^~1.4概率一、基本概念1.排列（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列。（2）排列的计算公式：；使用计算器时先输入n的值，然后按P按钮，再输入m的值。2.组合（1）组合

8、的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组。组合与排列的区别是组合是无序的，而排列是有序的。（2）组合的计算公式：；使用计算器时先输入n的值，然后按C按钮，再输入m的值。二、例题讲解例1.有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，求取出的3个小球的编号和为奇数的概率.（2015大同杯第2题）例2.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，求它是直角三角形的概率.（2015全国初中数学联赛第一试填空第2题）例3.