基与维数的几种求法

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1、线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有个向量满足:(1)线性无关。(2)中任一向量总可以由线性表示。那么称为维（有限维）线性空间，为的维数，记为，并称为线性空间的一组基。如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成为无限维的。例1设，为数域上矩阵，为数域上维向量，求的维数和一组基。解设矩阵的秩为，则齐次线性方程组的任一基础解系都是的基，且的维数为。例2数域上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数

2、和一组基。解易证为线性空间的一组线性无关的向量组，且对中任一元素有按定义为的一组基，的维数为2。方法二在已知线性空间的维数为时，任意个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例3假定是一切次数小于的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：构成的基。证明考察由的系数为得，并代入上式可得的系数依此类推便有，故线性无关又的维数为,于是为的基。方法三利用定理：数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。例4设，证明：由实数域上的矩阵的全体实系数多项式组成的空间与复数域作为实数域

3、上的线性空间同构，并非求它们的维数。证明中任一多项式可记为，建立到的如下映射易证是到上的单射，满射即一一映射。再设，则有故是到的同构映射，所以到同构另外，易证的一个基为，，故方法四利用以下结论确定空间的基：设与是维线性空间中两组向量，已知可由线性表出：令如果为的一组基，那么当且仅当可逆时，也是的一组基。例5已知是的一组基，证明也是的一组基。证明因为且所以也为的一组基。方法五如果空间中一向量组与中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例6设表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成

4、的线性空间的一组基，证明为这空间的一组基。证明则解得于是线性无关，它们皆可由线性表示，因此与等价，从而中任意多项式皆可由线性表示，故为的基。方法六利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个矩阵，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：，其中表示阶单位矩阵。依据这两个定理，我们可以很方便地求出的一个基，从而确定了维数。例7设是数域上四维线性空间的子空间，且求的一个基与维数。解若，则存在，使……（1）即有……（2）若线性无关，（2）仅当时

5、成立那么是零子空间，因而没有基，此时维数为，是直和若存在不全为零的数使（2）成立，则有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量。以为列向量作矩阵，经行初等变换将化为标准阶梯形矩阵。是的一个基同时知，是的一个基，是的一个基，是的一个基，方法七在线性空间中任取一向量，将其表成线性空间一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例8求与的交的基和维数。设，解任取，则，且，（注：此时虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在、中的表示，

6、并非本题所求，即要在空间中将线性表出），求解得故是一维的，基是易知是非零向量，是线性无关的。方法八按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果是有限维线性空间的两个子空间，那么例9已知求由向量生成的的子空间与向量生成的子空间的交与和空间的维数的一组基。解因为，对以为列的矩阵施行行初等变换：秩秩，所以的维数是且为极大线性无关组，故它们是的一组基。又由线性无关知的维数为，同理的维数也为，由维数公式知的维数为。从矩阵易知,故是公有的非零向量，所以它是交空间的一组基。方法九由替换定理确定交空间的维数。

7、替换定理：设向量组线性无关，并且可由向量组线性表出，那么必要时可适当对中的向量重新编号，使得用替换后所得到的向量组与向量组等价。特别，当时，向量组与向量组等价。例10已知向量组设它们是向量组的线性组合，又设向量组与向量组等价，试求生成的空间的交空间的基和维数。解显然线性相关，线性无关由替换定理知与等价，进而知与等价于是维数为3，基为维数为2，基为因此，故与的交空间的基为维数为2