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1、数学知识不确定性的价值及其实现20世纪末21世纪初,人类知识观发生了重大变化：知识不再被认为是“真理”而被当作一个暂时的结论。它有待发展、修订与完善。正如波普尔（Pop?per,K.)所言：“所有的科学知识，不仅是科学知识,在实质上都是‘猜测性的知识’，都是我们对于某些问题所提出的暂时回答”。换句话说,人们认为知识具有不确定性。由于知识是教育的主要内容，因此知识观的变化必然带来教育的变化。本文主要讨论数学知识的不确定性及其教学问题。一、数学知识的确定性及其教育局限数学知识具有确定性,其发展也是沿着确定性的道路进行的,但这种确定性是有限度的。超过了这个限度,将不利于数学教育
2、价值的实现。(一)数学知识的确定性及其表征1.数学知识确定性的涵义通常认为，在所有知识中，数学是最确定的。正因为如此，某门学科能否称为“科学”，关键就看其能否被数学化（即能否运用数学的方法来进行研究）。数学成了衡量其它学科能否成为科学的标准。比如，社会学之所以成为一门科学，就在于孔德（te,A.)将实证（其中最主要是运用了数学的手段）方法引入了社会学。那什么是数学知识的确定性呢？简而言之,数学知识的确定性是指数学的知识结论是精确的,而且这一结论是可信的。数学知识的确定性既指数学知识是精确的,也指数学知识是客观的，还指数学知识是永恒的、超越时空的。2.数学知识确定性的表征(
3、1)数学知识确定性的历史追溯数学知识自产生起,就沿着确定性的道路向前发展。柏拉图（Plato)将世界划分为在的世界和变的世界，数学属于在的世界，是不变的。在《理想国》第七卷中，他认为数学是科学，强调“科学的真正目的是纯粹为了……关于永恒事物的，而不是关于某种有时产生和灭亡的事物的……知识”欧几里得（Euclid,A.)的《几何原本》被当作是确定性数学知识的代表作,全书包括23条定义、五条公理和五条公设。欧几里得认为公设是适用于一切科学的真理，公理是几何学中的真理，它们都是确定无疑、无须证明的。中世纪,人们认为数学知识是上帝预先设计好的、确定的客观真理。在《哲学原理》中，笛
4、卡尔（Descartes,R.)认为要使哲学能够统一所有科学，必须要用数学方法（后来他将这称为“普遍数学”，“绝不接受我没有确定为真的东西”。这句名言更是诠释了他对数学确定性的追求。可以说,在20世纪以前，数学发展的历史就是追求数学确定性的历史。(2)数学知识确定性的权威定位历代的数学权威都认为，数学是不变的真理；甚至认为“自然法则就是数学规则”。柏拉图认为“只有从理想世界是数学知识来理解现实世界的实在性和可知性,无疑这个世界是数学化的”。在他看来,只有掌握了数学，才能理解这个世界。因此,在柏拉图学园门口处挂着这样一个标牌：“不懂几何学者免进”。他认为，只有精通几何,才能
5、够学习其它学科。毕达哥拉斯派甚至提出“万物皆数”，将音乐、行星运动归结为数的关系,认为数是万物的代表,万物都可归结到数中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)认为“如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动”，表明在他看来方程式可以表达并解释宇宙间所有运动，这句话也被当作追求确定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。兰德尔（Randall,J.H.)在《现代思想的形成》中指出“科学起源于用数学解释自然界这种信念,而且在很久以前这个信念就为经验证实了”，从中可
6、以看出数学是近代科学形成的前提。由此可知,从古希腊起,确定性数学知识在所有知识中占据权威的地位。(3)数学知识确定性的价值澄明数学知识确定性的表征还表现为，将确定性的数学知识应用到其它学科中去,取得了巨大成就。首先,对确定性数学知识的追求促进天文学、物理学等自然学科的发展。如高斯（Gauss,K.F.)在24岁时运用数学知识观察小行星谷神星，并预言了这颗行星的轨迹。伽利略（Galileo,G.)运用数学知识来描述和解释自由落体规律,促进物理力学的发展。牛顿（Neann,G.B.)也得出结论:三角形内角和大于180°,即黎曼几何。双曲几何和黎曼几何（两者统称为非欧几何）的出
7、现,表明三角形内角和等于180°并不是确定无疑的真理。(二)数学知识不确定性的价值1.为数学学科的繁荣提供了可能正是由于数学知识本身的不确定性,促使数学不断发展。如欧氏几何第五公设（即平行公设）：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线无限延长后在这一侧相交。1826年，罗巴切夫斯基提出一条与之相反的公理:过平面上一已知直线外的一点至少可以引出两条直线与该已知直线不相交。1854年，黎曼有得出一个相反的命题:过直线外一点不能引出与该直线不相交的直线。因此,正是由于第五公设陈述上的
