数学压轴题归类100题

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1、导数压轴题题型归纳1.高考命题回顾例1已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(2013全国新课标Ⅱ卷)(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.例2已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2(2013全国新课标Ⅰ卷)(Ⅰ)求a,b,c,d的值(Ⅱ)若x≥-2时,,求k的取值范围。例3已知函数满足(2012全国新课标)(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值。例4

2、已知函数,曲线在点处的切线方程为。(2011全国新课标)(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。例5设函数(2010全国新课标)(1)若,求的单调区间;(2)若当时,求的取值范围例6已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.(2009宁夏、海南)(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β-α>6.652.在解题中常用的有关结论※(1)曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为。(2)若可导函数在处取得极值,则。反之,不成立。

3、(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:恒成立(不恒为0).(5)函数(非常量函数)在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。(若为二次函数且I=R,则有)。(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立(7)若,恒成立,则;若,恒成立,则(8)若,使得,则;若,使得,则.(9)设与的定义域的交集为D,若D恒成立,则有.65(10)若对、,恒成立,则.若对,,使得,则.若对,,使得,则.(11)已知在区间

4、上的值域为A,,在区间上值域为B,若对,,使得=成立,则。(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①②1xx+≤③④⑤⑥3.题型归纳①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例7(构造函数,最值定位)设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.65例8(分类讨论,区间划分)已知函数,为函数的导函数.(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;(2)若函数,求函数的单调区间.例9

5、(切线)设函数.(1)当时,求函数在区间上的最小值;(2)当时,曲线在点处的切线为,与轴交于点求证:.例10(极值比较)已知函数其中⑴当时,求曲线处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m⑵当时,求函数的单调区间与极值.例11(零点存在性定理应用)已知函数⑴若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.65例12(最值问题,两边分求)已知函数.⑵时,讨论的单调性;⑵设当时,若

6、对任意,存在,使,求实数取值范围.例13(二阶导转换)已知函数⑴若,求的极大值;⑵若在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.例14(综合技巧)设函数⑴讨论函数的单调性;⑵若有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:是否存在,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.②交点与根的分布例15(切线交点)已知函数在点处的切线方程为.⑴求函数的解析式;⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;⑶若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.65例16(根的个数)已知函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.(I)求的最大值;

7、(II)若上恒成立,求t的取值范围;(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数.例17(综合应用)已知函数⑴求f(x)在[0,1]上的极值;⑵若对任意成立,求实数a的取值范围;⑶若关于x的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.③不等式证明例18(变形构造法)已知函数,a为正常数.⑴若,且a,求函数的单调增区间;⑵在⑴中当时,函数的图象上任意不同的两点,,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:.⑶若,且对任意的,,都有,求a的取值范围.65例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.(1)若对任意的恒成立,求实数的取值范围

8、;(2)当时,设函数,若,求证例20(绝对值处理)已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值.(I)求实数的取值范围;(II)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式;(III)对于(II)中的函数,对任意,

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