初三上专题四点共圆

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1、四点共圆专题讲义例1．如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．　　例2．（1）如图，在△ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，∠A=60°．求证：ED=（2）已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高．求证：AO⊥DE例3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．　　　　　　　7总结：四点共圆的方法：OA=OB=OC∠ADC=∠ABC=90°∠ACD=∠ABD=90°∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE∠A=∠D或∠B=∠C1．_________

2、_________________________________________________2．__________________________________________________________3．__________________________________________________________4．__________________________________________________________例4．求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中AB·CD+BC·AD=AC·BD．练习1．在

3、中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围．7练习2．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转（0°<<90°），得到

4、△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF.（1）如图1，若=60°，线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，若=90°，求∠AFB的度数和BF的长；（3）如图3，若旋转（0°<<90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含的代数式表示）.图3图1图2练习3．已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点C是AB与O

5、P的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP长．7练习4．已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为________；②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理

6、由；（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．练习5．已知：Rt△和 Rt△ABC重合，=∠ACB=90°，=∠BAC=30°，现将Rt△ 绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线和线段相交于点D,连接BD．（1）当α=60°时，过点C，如图1所示，判断BD和之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；

7、若不成立，请说明理由．图1图2图37练习6．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB＝，∠ACE＝，∠AEC＝．(1)依题意补全图1；(2)若＝15°，直接写出和的度数；(3)如图2，若60°<<120°，①判断，的数量关系并加以证明；②请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）图2图1练习7．阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=45°，求线段AD的长．小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周

8、角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O