立体几何典型题型(理科)

《立体几何典型题型(理科)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、WORD文档下载可编辑立体几何经典例题剖析考点一空间向量及其运算1.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？解析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对使或对空间任一点，有。答案：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．2.如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．解析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．答案

2、:证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面内，所以平面．点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开.考点二证明空间线面平行与垂直3.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面

3、平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，专业资料整理分享WORD文档下载可编辑ABCA1B1C1Exyz∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、

4、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.点评：转化转化2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．4.（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，P

5、A=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形∥，∥（4分）（2）以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，在平面内设，，，由专业资料整理分享WORD文档下载可编辑由是的中点，此时（8分）（3）设直线与平面所成的角为，，设为故直线与平面所成

6、角的正弦为（12分）解法二：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形∥，∥（4分）（2）由（1）知为平行四边形，又同理，为矩形∥，，又作故交于，在矩形内，，，为的中点当点为的中点时，（8分）（3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来考点

7、三求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5.（四川省成都市2007届高中毕业班第三次诊断性检测）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小

8、；专业资料整理分享WORD文档下载可编辑(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可