立体几何典型题型(理科)

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1、word资料下载可编辑立体几何经典例题剖析考点一空间向量及其运算1.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？解析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对使或对空间任一点，有。答案：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．2.如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．解析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示

2、．答案:证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面内，所以平面．点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开.考点二证明空间线面平行与垂直3.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，

3、二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，专业技术资料word资料下载可编辑ABCA1B1C1Exyz∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直

4、线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.点评：转化转化2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．4.（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，

5、PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形∥，∥（4分）（2）以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，在平面内设，，，由专业技术资料word资料下载可编辑由是的中点，此时（8分）（3）设直线与平面所成的角为，

6、，设为故直线与平面所成角的正弦为（12分）解法二：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形∥，∥（4分）（2）由（1）知为平行四边形，又同理，为矩形∥，，又作故交于，在矩形内，，，为的中点当点为的中点时，（8分）（3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法

7、中都能十分明显地体现出来考点三求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5.（四川省成都市2007届高中毕业班第三次诊断性检测）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为

8、的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小；专业技术资料word资料下载可编辑(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影