久期和凸性分析

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1、债券组合理论与投资分析——久期与凸性（DurationandConvexity)根据债券定价模型，人们开发出了有关债券价格相对利率变化的灵敏度及其它很有用的指标，如久期（Duration）和凸性（Convexity）。引言前面我们注意到，所有债券（证券）都承担利率风险，并且长期债券比短期债券对这些风险更为敏感。前面的图和表均说明了这个问题。但是，这种说明和表达方式是不精确的。首先，期限的度量，忽视了债券中间时期的现金流，仅仅是关注到期时的最后支付，利息支付（中间的现金流）对于利率风险是重要的，而且众所周知，票息高的债券比那些票息低的债券

2、对利率的敏感性要低。实质上，通过更快的现金流回报，持有高息票债券的投资者比持有低息票债券的投资者可更快收回投资。尽管三支债券的期限均相同，但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。按这里的期限，对三支债券对利率变化的相对灵敏性的影响是有限的。1938年，麦考利为了评估债券平均还款期限，引入久期的，利用这个指标可以评价具有不同现金流方式的债券的相对承担利率风险的成份，因为它既考虑到了期末的现金支付又考虑到了期间的现金支付情况（它使债券定价定理5得以精确化）。二、债券的平均生命期和久期债券价值时间现金流1现金流2现金流3平均生命期01231、债

3、券平均寿命期图示：期限3年，每年内现金流相同。2、债券久期图示：相同的例子现金流1现金流2现金流3久期债券价值时间0123上图中，债券的生命期为2年。然而，一个更为精确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现值。在这种情况下，目标是用支付的现金流的现值给每次支付加权，而不是简单地用未加处理的支付额来计算平均时间。这种用每次支付的现值为每次支付时间加权的度量被命名为久期D。由于较早的支付比较晚的支付现值高，因此久期的期限将小与平均生命期。见上图。债券久期的计算公式为：上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。现金流入包括利息C和赎回本金F，

4、并且时间加权数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以债券价格P（债券估值公式中的P）。3、久期例子计算表（1）公式：（2）债券A（折价债券）：（3）债券B（抵押债券）：（4）债券C（息票债券）：注意：零息票折价债券的期限与久期相同，这是因为全部的现金流均在持有期末收到。另一方面，期间发生支付的债券其久期短于期限。因此息票债券C的久期为2.7年，小于期限3年。债券B由于其平均现金流小而拥有更短的久期，为1.9年。4、久期和利率灵敏度问题的引出作为一种度量投资者投资回收期的方法，久期同期限相比，其最明显的优势是度量债券价格相对于到期

5、收益率变化的灵敏度上：久期使债券定价定理2得以精确。通常认为，两支不同期限的债券，其到期收益率变化1％，所带来的债券价格变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。然而，如果债券的息票不同，上述结论则不正确。在一般情况下，期限与价格灵敏度之间不存在一种简单的关系，而久期却给出了一个更为接近的方程。2、久期与债券价格的关系久期的另一层含义：债券价格的波动性D*修正久期：式中左边是由给定的到期收益率变化引起的债券收益率风险，显然久期越长，由利率变化所引起的就风险越大。根据上表中的息票债券C，假定到期收益率从10％增长到11％。据此可得期望的价格变

6、化：注意：这个结果与前面表2中计算出的实际价格下降2.6%相比较，其误差来自于这样一个事实：久期得出的度量在利率变化幅度较小时很有效，但一旦利率变化较大时，就会失去其精确性。我们认为，利率在短期内变化100个基点是比较大幅度的变化，因而存在一定的误差。5、久期法则久期法则1：贴现债券或者零息票债券的久期等于它们的到期时间。久期法则2：到期时间相同时，息票率和债券久期呈反向关系。久期法则3：当票面利率不变时，债券久期直接与到期时间（maturity）长短相联系。久期法则4：其他因素都不变，债券的久期和到期收益率呈反方向变化。久期法则5：统一

7、公债，即无限期债券的久期为。通过对久期的分析，与本章前面讨论到的证券的风险因素相联系起来，以对本节做出总结，这将是有指导意义的。我们注意到，在一个定价体制中，具有较大利率风险的证券比具有较低利率风险的证券应有较高的增溢或折现率。本节的分析已经指出期限长的证券比期限短的证券对于利率变化的灵敏性要高。我们因此希望较长期限的证券比较短期限的证券有着较大的折现率以补偿其较大的风险（在其他风险因素相等条件下）第四节凸性分析（ConvexityAnalysis）如上节分析所指出，利率和债券价格可以通过久期以一种线性关系联系起来。这种关系给出了一个债券

8、价格变化精确的近似值，特别是在利率变化很小的情况下。然而，当利率变化较大时，这种关系将失去其精确性。因为此时两者的实际关系是一种曲线关系。由债券定价定理4可知，债券价格随利率下降而上升的数额要