2007年新课标高二数学竞赛选选拔试卷

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1、欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷一选择题1.已知集合A={x

2、x2−x−2<0,x∈R}，B={x

3、x2−1≥0,x∈R}，则A∩B＝（）A.{x

4、-1

5、x≤−1,or1≤x<2}C.{x

6、1

7、1≤x<2}2.当时，下面四个函数中最大的是（）。A.sin(cosx)B.sin(sinx)C.cos(sinx)D.cos(cosx)3.已知椭圆上一点Ａ到左焦点的距离为，则点Ａ到直线的距离为（）A.2B.C.D.4.设非

8、常值函数f(x)(x∈R)是一个偶函数，它的函数图像y=f(x)关于直线对称，则该函数是（）A.非周期函数B.周期为的周期函数C.周期为2的周期函数D.周期为2的周期函数5.如果，则使f(x)<0的x的取值范围为（）A.0

9、今天是星期天，再过2007天后是星期______。11.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有____种。《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com12.整数x>y>z，且，则x,y,z分别为__________。三.解答题13.从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥。（1）用x表示圆锥的体积V；（2）求V的最大值。14已知抛物线的焦点为F，以点A

10、（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。（1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。（2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com15.用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后

11、，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数。（1）请规定的值，并说明其实际意义。（2）写出满足的条件和具有的性质。（3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com选择题DCCCBB填空题2,,星期五,91,2,-1,-3解答题13（1）设卷成的无盖圆锥体的底面半径为r，高为h，则有，，其中，，所以所以所以，（）（

12、2）由（1）知，其中：当，即时，也即时，V取得最大值，所以V的最大值为14.（1）因为点A的坐标为（，0），抛物线的焦点为F（a，0《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com），准线为，所以所以以A为圆心，

13、FA

14、为半径的圆在x轴的上方的方程为，（）由得设M（），N（）（其中：()均为正数），则有又抛物线上的点到焦点与准线的距离相等所以因为点F、M、N均在⊙A上，所以，因为，且所以点A在以M、N为焦点且过F的椭圆上（2）假设

15、存在满足条件的a，则有，即设点P的坐标为（），则有《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com由，得化简，得所以，与矛盾故不存在满足条件的，即不存在值，使得点P为MN的中点，且

16、FP

17、是

18、FM

19、与

20、FN

21、的等差中项。15.（1）设，表示未清洗时水果上残留的农药量。（2）满足：，，具有的性质：在［０，）上单调递减，且（3）方案1：用m个单位的水，仅清洗一次因为，所以所以用m个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为方案2：把

22、m个单位的水等分成2份来清洗因为又表示用x个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比，所以用个单位的水清洗以后，水果上残存的农药为；《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com再用个单位的水清洗后，水果上残存的农药量为两种方案中残存的农药量之差为于是