离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第九章

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1、第九章离散傅立叶变换的计算9.1假设有一个计算机程序可用来计算如下DFT：即，程序的输入是序列，而输出是。证明如何将输入和/或输出序列重新安排，使得该程序也可用来计算：即，程序的输入应当是或与有简单联系的一个序列，而输出应当是或与有简单联系的一个序列。有好几种可能的方法。解法1：用FFT程序计算然后计算就可以来计算IDFT。解法2：用FFT程序计算然后计算就可以来计算IDFT。9.2在9.2节中我们利用来推导出有限长序列计算一个指定DFT值的递推算法.(a)利用,证明可作为图P9.2-1所描述的差分方程经N次迭代后输出而求得.也就是说,证明(b)证明也等于图P9.2-2所

2、示差分方程经N次迭代后的输出.注意,图P9.2-2的系统与图P9.2的系统有相同的极点,但是实现图P9.2-2中复零点所要求的系统是图P9.2中对应系统的复共轭,即.解:(a)假定则故因为,所以(b)图P9.2-2的系统函数为书中图9.2的系统函数为因此图P9.2-2与图9.2具有相同的极点,但实现零点所要求的系数是图9.2中系数的共轭.即9.3图P9.3中给出了时按时间抽取FFT算法流图表示。粗线表示从样本到DFT样本的一条路径。（a）沿着图P9.3中粗线所示路径的“增益”是多少？（b）在流图中始于且止于的路径有多少条？在一般情况下这一结论是否也正确，即，在每个输入样本

3、和每个输出样本之间的路径有多少条？（c）现在考虑DFT样本。沿着图P9.3所示流图的路径，证明每个输入样本都对DFT样本有适量的贡献，即证明：图P9.3解：（a）由图中的信号流可以得出，沿着图P9.3中粗线所示路径的“增益”是：（b）在流图中，始于且止于的路径只有1条。在一般情况下，每个输入样和每个输出样本之间的路径也只有1条。（c）证明：由（b）我们知道，每个输入样本和每个输出样本之间的路径也只有1条唯一的路径，从流图中，分别找出从到，而且中止于的路径，我们得出，增益分别是：，，···，9.4解：（a）和的序号n和r成二进制倒位关系。即：若，则；其中（i=0、1、…、N

4、-1）为二进制码元（0或1）。。（b），当N＝8时，。即：，，，。同时考虑到，可得如图解P9.4b-1的和值。可得最终简化后的计算流图，如图解9.4b-2所示。图解P9.4b-1图解9.4b-2（c）只需给出图解9.4b所示流图的逆流图，即可得到相应的由得到的流图。这里只给出逆流图的形式及求解过程。图解9.4c如图解9.4c所示：。9.5画出16点基2按时间抽取FFT算法的一种流图。用的幂次来标出所有的乘法器，并且标出任何传输比等于－1的支路。用输入序列和DFT序列的适当值分别标出输入和输出节点，求执行流图运算所需要的实乘法次数和实加法次数。解：执行流图运算所需要的实乘法

5、次数为次实加法次数为次流图如下：9.6在9.4.2节中曾断言,一个FFT算法流图的转置仍然是一个FFT算法的流图.本习题的目的就是对基2FFT算法推导出这仪结论.(a)按频率抽取基2FFT算法的基本蝶形图绘于图P9.6-1中.这个流图表示如下方程:从这些方程入手,证明利用图P9.6-2所示的蝶形图可由计算出.(b)在图9.20的按频率抽取算法中,为倒位序排列的DFT,而第零号为正常位序排列的输入序列.如果图9.20中的每个蝶形都用图P9.6-2形式的适当蝶形来替代,则所得结果就是由DFT(倒位序)来计算序列(正常位序)的流图.画出当N=8时所得结果的流图.(c)在(b)中

6、得出的流图表示一种IDFT算法,即,计算下式的算法:对(b)中所得流图加以修改,使其可计算DFT而不是IDFT.(a)可以看出,(c)的结果就是图9.20按频率抽取算法的转置,它等同于图9.10所示的按时间抽取算法.是否可得出结论,对于每一种按时间抽取算法(如图9.14~9.16),必有一种按频率抽取算法(它是按时间抽取算法的转置)与之对应,反之亦然?请说明原因.解:(a)由图P9.6-2可写出:将上式带入题给方程组可得:因此可用图P9.6-2所示的蝶形图可由计算出.(b)(c)可将(b)中图的输入;再对整个图作共轭,最后再乘以N(N=8),输出上图变为(d)将(c)图中

7、做相应的变换可以得到与图9.10相同的图.由上可以看出:对于每一种按时间抽取算法,只要将其转置就可得到响应的按频率抽取算法,反之亦然。9.7在许多的应用中（如计算频率响应或者内插），十分关心一个短序列“经过补零”后的DFT，在这种情况下可以经过一种特殊的（修剪）FFT算法来提高效率（Markel,1971），在这个习题中我们来研究当输入序列长度为，而DFT的长度为时，如何对基2按频率抽取算法进行修剪。（a）画出当时，基2按频率抽取FFT算法的完整流图，合理地标出全部分支。（b）假设输入序列的长度为，即，仅当和时，，画出一个时的