线性代数卷子2

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1、2003年试卷一一、填空题(每小题4分)(2)曲面与平面平行的切平面的方程是_________.解:设为与平面平行的切平面的切点坐标,则过的法向量为于是过的切平面方程为,即由题意两平面平行,故,解得,故,因此所求方程为.(4)从的基到基的过渡矩阵为________解:.设为基到基的过渡矩阵,则所以.二、选择题(每小题4分)(4)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则(A)当时,向量组II必线性相关.(B)当时,向量组II必线性相关.(C)当时,向量组I必线性相关.(D)当时,向量组I必线性相关.解:(D)正确.从与的大小关系,无法确定向量组II的线性相关性,这

2、可从以下例子看出.设表示阶单位阵的第个列向量,例1.取向量组I:;取向量组II:.向量组I可由向量组II线性表示,,但向量组II:线性无关,故(A)错误.例2.取向量组I:;·178·取向量组II:.向量组I可由向量组II线性表示,,但向量组II:线性无关,故(B)错误.不过从与的大小关系可以确定向量组I的线性相关性.由例1知(C)错误.设向量组I、II是维向量组.因为可由线性表示,所以存在矩阵,使,当时,考虑线性方程组因为,故在非零解,使,其中不全为零,于是这说明线性相关,故(D)正确.本题的实质问题是:线性无关的向量组,不能由个数不超过它的向量组线性表示,所

3、以当时,向量组I必线性相关.(5)设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题:①若的解均是的解,则;②若,则的解均是的解;③若与同解,则;④若则,则与同解.以上命题中正确的是(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④.解:(B)正确.在过去历年的选择题中,正确的答案只是一个命题,本题标志着由单选开始转入多选。因此增加了选择题的难度.为了做出正确选择,需要逐一检查①②③④四个命题的对与错.由的解均是的解,说明,这里分别表示上述两个线性齐方程组的解空间,故,故①正确.反之从,得,但这仅表示两个系数矩阵秩的大小或两个解空间维数的大小,与方程组与的解无直接关系

4、.如取·178·.是的解,但它显然不是的解故(2)错误.由与同解知,,,于是.故(3)正确.仅从当然不能断定与同解,因为秩相同的同型矩阵与方程组同解相差甚远.取显然④错误.综上所述①、③正确,故选(B).九、(本题满分10分)设矩阵,求的特征值与特征向量,其中为的伴随矩阵,为3阶单位矩阵.解法1:经计算可得;;从而·178·故的特征值为9,9,3.当时,对应的线性无关特征向量可取为所以对应于特征值9的全部特征向量为,其中是不全为零的任意常数.当时,对应的一个特征向量为,所以对应于特征值3的全部特征向量为,其中是不为零的任意常数.解法2:设的特征值为,对应的特征向

5、量为,即.由于,所以.又因,故有.于是有因此,为的特征值,对应的特征向量为.由于,故的特征值为当时,对应的线性无关特征向量可取为当时,对应的一个特征向量为·178·由,得因此,的三个特征值分别为9,9,3.对应于特征值9的全部特征向量为,其中是不全为零的任意常数;对应于特征值3的全部特征向量为.其中是不为零的任意常数.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.证法1:必要性:设三直线交于一点,则线性方程组(*)有惟一解,故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,于是.由于·178·但,故.充分性:由,则从必要性的证明可知

6、,,故秩由于,故秩.于是,秩秩.因此方程组(*)有惟一解,即三直线交于一点.证法2:必要性:设三直线交于一点,则为的非零解,其中.于是.而但,故.充分性:考虑线性方程组(*)将方程组(*)的三个方程相加,并由可知,方程组(*)等价于方程组(**)因为故方程组(**)有惟一解,所以方程组(*)有惟一解,即三直线交于一点.试卷二一、填空题(每小题4分)(5)设为3维列向量,是的转置,若,则·178·__________.解:3.显然的第2列,第3列分别是由乘第1列所得到,故所以.(6)设三阶方阵满足,其中为三阶单位矩阵,若则__________.解:.由,有,故.而

7、是可逆阵,上式左乘得.取行列式.因,于是.二、选择题(每小题4分)(6)同试卷一之二、(4)十一、(本题满分10分)若矩阵相似于对角矩阵,试确定常数的值;并求可逆矩阵使.解:矩阵的特征多项式为,·178·故的特征值为.由于相似于对角矩阵,故对应于应有两个线性无关的特征向量,因此矩阵的秩应为1.从而由知.于是对应于的两个线性无关特征向量可取为当时,解方程组得对应于的特征向量.令,则可逆,并有.十二、同试卷(一)十.试卷(三)一、填空题(每小题4分)(4)设维向量为阶单位矩阵,矩阵其中的逆矩阵为,则__________.解:.因为的逆矩阵为,故·178·即由此.因为

8、不是零阵,故.解之,因为

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