计算方法概论与理论基础(1,2)new

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1、北京科技大学数理学院卫宏儒weihr168@yahoo.com.cn科学与工程计算公用邮箱：whr83@yahoo.cn密码：lhl213参考书：请看本教材的参考文献。课程性质和计划计算方法概论数值计算的理论基础矩阵特征值与特征向量的计算方程组及非线性方程的数值解法线性方程组的解法非线性方程求根数值逼近与曲线拟合数值逼近方法常微分方程初值(边值)问题的数值解法插值法数值积分与数值微分计算方法概论数值计算的理论基础矩阵特征值与特征向量的计算方程组及非线性方程的数值解法线性方程组的解法非线性方程求根第一章计算方法概论简要地介绍计算数学的一

2、些基本概念。包括计算数学的对象、应用和发展，计算机中数的浮点运算，误差的基本概念、问题的性态以及算法的数值稳定性等；1、计算数学引论计算数学的对象；计算数学的应用与发展；2、算法及其效率算法；算法的计算量3、机器数系4、误差的基本概念误差的来源模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。误差与有效数字误差（绝对误差）；误差限；相对误差；相对误差限；有效数字。和、差、积、商的误差；数据的机器浮点数浮点数的算术运算5、问题的性态与算法的数值稳定性良态与病态问题算法的数值稳定性数值计算中值得注意的事项6、应用实例与Matlab计算机解决实际问题

3、的步骤建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算实际问题　　数学问题　　提供计算方法程序设计　　上机计算　　结果分析在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果?研究例子:求解线性方程组其准确解为x1=x2=x3=1如把方程组的系数舍入成两位有效数字它的解为x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...数值分析研究的对象研究数值方法的设计、分析和有关理论基础与软件实现。计算方法又称：计算数学、数值方法、数值分析等。计算方法的分枝有最优化方法、计算几何、计算概率统计等。计算方法的内容连续系统的离散化离散性方程的数值求

4、解串行计算方法与并行计算方法的关系：并行计算方法70年代初随并行计算机的出现而产生，是计算数学中最活跃的新领域。什么是算法和计算量？算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。计算量：一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop.计算量是衡量一个算法好坏的重要标准。例题：矩阵乘法的计算量。规格化浮点数x=0.a1a2...at10cai{0,1,2,…,9},a10，LcU一般情况：x=0.a1a2...atc,=2,8,10,16,ai{

5、0,1,2,…,-1},LcUF(,t.L,U)表示以上数集全体加数0，它是计算机中使用有限离散集。计算机中的数系阶码尾数溢出错误计算机中数的计算特点1.加法先对阶,后运算,再舍入。2.乘法先运算,再舍入。3.不在计算机数系中的数做四舍五入处理。例如:在四位浮点十进制数的计算机上计算1+104解:1+104=0.1000101+0.1000105=0.00001105+0.1000105(对阶计算)=0.10001105=0.1000105=1041、模型误差2、观测误差3、截断误差4、舍入误差误差的来源绝对误差：

6、e=x*-x,x*是准确数x是近似数绝对误差限：

7、e

8、=

9、x*-x

10、常表示为x=x*或x*-xx*+相对误差：er=(x*-x)/x*,x*是准确数,x是近似数相对误差限r：

11、er/x*

12、=

13、x*-x

14、/

15、x*

16、r相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异例:考虑1.x*=10,x=11e=-1er=-0.12.x*=1000,x=1001e=-1er=-0.001误差定义如果

17、e

18、=

19、x*-x

20、0.510-k称近似数x准确到小数点后第k位,从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有

21、效数字.有效数字用四舍五入得到的数都是有效数字有效数字越多,误差越小,计算结果越精确.例如:设x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?四则运算的误差绝对误差：e=x*-x=xdx相对误差：er=(x*-x)/x*dx/x=dlnx利用这个关系可以讨论四则运算的误差和函数的误差。例如下列式子说明什么误差结果?d(x+y)=dx+dydln(xy)=dlnx+dlnydln(xn)=ndlnx数值计算中值得注意的问题一、防止相近的两数相减(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再

22、做.)例1:各有五位有效数字的23.034与22.993相减.23.034-22.993=0.0410.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生.例2:当x