第8讲导数应用的题型与方法(4课时)

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1、高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com第8讲导数应用的题型与方法（4课时）利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导

2、数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4．曲线的切线　　在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能

3、说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲京翰教育http://www.zgjhjy.com/高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com　　6．导数的定义　　导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．　　对导数的定义，我们应注意以下三点：　　(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．　　(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微

4、，才能得到f(x)在点处的导数．　　(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=

5、x

6、在点x=0处连续，但不可导．　　由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：　　(1)求函数的增量；　　(2)求平均变化率；　　(3)取极限，得导数。　　7．导数的几何意义　　函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：　　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点京翰教育http://www.zgjhjy.com/

7、高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com处的切线的斜率；　　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为　　　　特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为11.导数与函数的单调性的关系㈠与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。㈡时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。㈢与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有

8、，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。㈣单调区间的求解过程，已知（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间京翰教育http://www.zgjhjy.com/高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判

9、断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。12.（1）恒成立∴为上∴对任意不等式恒成立（2）恒成立∴在上∴