《微积分》(二)期末试卷 a答案

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1、对外经济贸易大学2007─2008学年第二学期《微积分二》期末考试试卷A课程课序号：CMP124－0～15学号：姓名：成绩：班级：课序号：任课教师：题号一二三四五合计分值1421431012100得分一、选择题（每小题2分，共14分）：得分1．若函数在区间[a，b]上可积，则下列不等式中成立的是（A）。2.设为连续函数，（A）。A.B．C.D．3．二元函数在点处的两个偏导数函数连续的（D）。A.必要而非充分条件；B.充分而非必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件。4．设为连续函数，则等于（C）。

2、A．B.C.D.5．函数为下列二阶常系数齐次线性微分方程（D）的通解。A.B.C.D.6．设，则下列结论中正确选项是(B)。A.与都收敛.B.收敛，发散C.与都发散D.发散，收敛7．设级数绝对收敛，则（C）。A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不能判定二、填空题（每小题3分，共21分）得分3．设。24．设。5．广义积分=1。6．交换二重积分次序=_____。7．若级数在收敛，则实数的范围是.三、计算题（1-6题每题6分，第7题7分，共计43分）得分1.设，且函数具有二阶连续的偏导数，求。3分3分2．设函

3、数有连续偏导数，且由方程解1.由隐函数求导公式，令，则1分2分而2分所以1分解2.直接求微分，由得1分再对两边微分1分得2分将上式代入并整理得2分3．计算二重积分解：2分3分4．计算二重积分，其中D为由圆及直线所围成的平面区域。解：3分3分5．将函数展开成x的幂级数。解：---------------3分------3分6．求微分方程满足初始条件的特解。解：将方程变形为，于是该方程为一阶线性微分方程，2分方程的通解为2分代入初始条件可得故所求特解为2分8．求幂级数的收敛域，并求其收敛区间内的函数。解:，R=1

4、，收敛区间为[-1，1]2分2分3分四、应用题(10分)生产某产品使用两种生产要素，其中甲要素投入量记为x，乙要素投入量记为y。在现有生产工艺条件下，产量z与两种生产要素的投入量x,y有如下关系：目前市场上，甲生产要素单价为8万元，乙生产要素单价为4万元，而该产品单价为32万元。请你确定甲、乙两种生产要素的投入量，使得该产品能获得最大利润。解：目标函数：2分约束条件：1分拉格朗日函数：2分联立：解得唯一驻点：3分由问题背景知极大值存在，且只有此唯一驻点，所以当两种生产要素投入量分别为x=4,y=15/4时，可

5、得利润最大。2分五、证明题（每题6分，共计12分）得分1.上任一非负连续函数，试证存在上以为高的矩形面积等于区间上以为曲边的曲边梯形面积。证明：构造辅助函数，则有------2分对在区间上用罗尔中值定理，即存在一点------2分又因为所以有，命题得证。------2分2．设证明:------2分所以反复使用此递推不等式有------2分而等比级数收敛，所以------2分