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时间:2018-10-25
《几何命题中的一题多解》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、几何命题中的一题多解几何证明题千变万化,因此在做题时要善于观察、思考,从不同角度分析问题,力求灵活驾驭所学知识。遇到一个问题,通过多种途径给出多种解法,称为一题多解,这对提高自己对不同题目的分析、应变能力很有帮助。本文就以“三角形内角和定理”的证明为例,谈一谈一题多解。 这个定理是任意一个三角形的一个重要性质,在理论上和实践中都有广泛的应用,因此学好它并了解它的一些证明方法是很有必要的。 证明这个定理的关键是如何添加辅助线,而画辅助线的目的是通过做平行线把三角形的三个角移到一起,这就使辅助线的画法很多,因此证明方法
2、也很多,下面就介绍几种这个定理的证明方法: 首先根据定理的内容,画出图形,写出已知,求证。 已知:如图,△ABC求证:∠A+∠B+∠C=180°(下面五种证明方法中的已知,求证均同上)。 证法1:分析:如图1,可以延长一边BC得到一个平角△∠BCD,然后以CA为一边,在△ABC的外部画∠ACE,所画∠ACE=∠B,即可证明。 证明:作BC的延长线CD,在△ABC的外部,以CA为一边,CE为另一边,画∠1=∠A,于是,CE∥BA(内错角相等,两直线平行)。 ∠B=∠2(两直线平行,同位角相等) 又∠1+∠2+
3、∠ACB=180°(平角的定义) ∠A+∠B+∠ACB=180° 证法2: 分析:如图2,可过点A画DE∥BC,从而证明∠B=∠1、∠C=∠2。 证明:过点A画DE∥BC,于是∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等). 又∠1+∠2+∠BAC=180°(平角的定义)。 ∠C+∠B+∠BAC=180°。 证法3: 分析:如图3,可以过点C作CD∥BA,利用两直线平行、同旁内角互补证明。 证明:过点C作CD∥BA,于是∠ACD=∠A(两直线平行内错角相等)。 而∠B+∠BCD=180(两直线平行
4、,同旁内角互补)。 ∠BCD=∠BCA+∠ACD, ∠B+∠BCA+∠ACD=180°, 即∠A+∠B∠BCA=180。 证法4: 分析:如图4,可以在边BC上取一点D,过点D画DE∥BA、DF∥CA利用平行线的性质可证。 证明:在BC上取一点D,过点D分别作DE∥BA、DF∥CA,于是, DE∥BA(辅助线作法), ∠B=∠2(两直线平行,同位角相等), ∠3=∠BFD(两直线平行,内错角相等), 又DF∥CA(辅助线作法), ∠1=∠C,∠A=∠BFD(两直线平行,同位角相等), ∠3=∠A
5、(等量代换), 又∠1+∠2+∠3=180°(夹角的定义)。 ∠A+∠B+∠C=180°。 证法5: 分析:如图5,可延长边BC到D,过点C作CE∥BA,利用平行线的性质,得∠B=∠1、∠A=∠2。 证明:延长边BC到D,过点C作CE∥BA,于是 ∠B=∠1(两直线平行同位角相等), ∠A=∠2(两直线平行,内错角相等), 又∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义), ∠A+∠B+∠ACB=180°。
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