4 圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

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1、联邦理科高二寒假第四讲圆锥曲线中的定点定值问题一、直线恒过定点问题例1.已知动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、,求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设，整理得：同理可得：，又，.例2、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为，直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。解：直线的方程为，即设关于直线的对称点的坐标为则，解得直线的斜率为6联邦理科高二寒假从而直线的方程为：即从而直线恒过定点二、恒为定值问题例3、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、P

2、B分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；解：（1）设椭圆方程为，由题意可得，所以椭圆的方程为则，设则点在曲线上，则从而，得，则点的坐标为。（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为：由得6联邦理科高二寒假设则同理可得，则所以直线AB的斜率为定值。例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点，求证：为定值.解:将代入中得，，所以。课后作业：1.在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.6联邦理科高二寒假（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，求证：直线

3、过定点；解：（Ⅰ）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:=,即,,所以中点E的坐标为,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).2.已知点为曲线上的一点，若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：设的中点为，垂直于轴的直线方程为，以为直径的圆交于

4、两点，的中点为．6联邦理科高二寒假，所以，令，则对任意满足条件的，都有（与无关），即为定值．6联邦理科高二寒假6