现实世界中的数学模型

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1、第一章现实世界中的数学模型第一节现实世界的模型在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词并不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、“生物模型”等。“原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过程等词汇来描述相应的对象。模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某种目的有关的那些方面和层次。模型的基

2、本特征是由构造模型的目的决定的。一、形象模型根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又称为直观模型。二、物理模型物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的某些规律。三、思维模型思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面

3、性、主观性、偶然性等缺点。四、符号模型用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征，这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构表等。五、数学模型在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的例子。例甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水速各为多少？分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假设之下，我们可以得出问题的解。求解设水的流速为，船的行驶速度为，则当顺水航行时有

4、关系当船只逆水航行时，有即有方程组上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。容易求出该问题的解：。即船速为20km/h，水速为5km/h。在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解过程。建立模型的过程就称为数学建模。第二节数学建模的重要意义一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之地。二、在高新技术领域中，数学建

5、模几乎是必不可少的工具。三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现：1.预报与决策；2.分析与设计；3.控制与优化；4.规划与管理。第三节数学模型的例子一、椅子放稳问题问题一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能的话，给出具体的方法。假设1椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一个四方形的顶点上；假设2地面是一张连续变化的曲面；假设3在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。建模设椅子的四只脚位于点其连线构成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线为坐标轴（坐标系统如图所示）。设

6、为两点椅子的脚离开地面的距离只和；为两点的椅子的脚离开地面的距离之和，则由条件得注意到：并且椅子的四脚落地意味着故不妨假设则问题归结为是否存在使得解模由条件对任意，有且令则因由闭区间连续函数的零点定理知，存在使得注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落地，即所以由，即有此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出了放稳的具体方法。注若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方形的桌子，则该如何求解？二、人口增长的预报问题随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪的人口增长情

7、况。年1625183019301960人口（亿）5102030年197419871999人口（亿）405060从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界经济的发展。下表是我国在20世纪中人口发展的状况：年1908193319531964人口（亿）3.04.76.07.2年198219902000人口（亿）10.311.312.95认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计

8、数据（单位：百万）对模型作出检验，最后用它预报2010年美国的人口。年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1年185018601870188018901900人口23.231.43