空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

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1、空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平而的法向量：①如图，/为经过已知点A.FL平行于已知非零向虽《的直线，对空间任意一点0,点P在直线/上的充要条件是存在实数z，使得=+其中向叫做直线的方向向量.由此可知，空問任意过线由空间一点及直线的方1414景惟一确定.②如果直线/丄平面a,取直线/的方向向量《，则向量a叫做平面a的法向量.由此可知，给定一点A及一个句那么经过点A以昀置《为法叫県的平面惟一确定.(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线/，m的方向向量分别足《，h平面a，夕的法向量分别足v，则①///mGa//厶

2、G=姑，^ER；②/丄///«a丄办《a•办=0;③///汉<=>rz丄w•w=0；④/丄6TGtt//w白=/cER;⑤汉//<=>m//r<=>u=kv，⑥6T丄<=^W±V<=>U•V=0.(3)川空间句量解决线线、线面、面面的火角问题：①异而直线所成的角：设〃，是两条异而直线，过空间任意一点O作直线6?//〃，/////7,则6/'与//所夾的锐角或直角叫做异而直线U与b所成的角.TT设异

3、ftj直线与h的方向向量分别是VpV2,U与/7的夹角为么显然沒e(0，f］，则I，IvrI

4、cos

5、=1」•IMV2I②直线和平面所成的角

6、：直线和平面所成的角足指直线与它在这个平面内的射影所成的角.设直线《的方向句量是M,平面6T的法

7、4量是V，直线tZ与平面6K的夹角为显然71IM*VI沒e［0，一］，则

8、cos

9、=^^.2u\v③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作a—/一#在二面角的梭上任取一点0，在两个半T•面内分别作射线丄/，丄/，则叫做二面角<7—/—的平面角.利用M餅求二面角的平而角有两种方法：方法一：如图，若AB,C7)分别足二面角a—/一夕的W个面内与棱/垂直的异面直线，则二面角汉一/一夕的人小就是叫景3与己万的

10、夹角的人小.方法二：如图，叱分别是二面角的两个半平曲汉，夕的法昀景，则〈叫，zn2〉与该二凼角的人小相等或互补.m(1)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用14景方法与综合方法，从不同角度解决立体几何W题.【例题分析】例1如阁，在长方体OAEB—中，04=3,0^=4,OO'=2,点P在棱儿久上，KAP=2PA}9点S在棱打仏上，HB}S=2S8,点0,/?分别是A£的巾点，求证：PQ//RS.【分析】建立空间直角喵标系，设法证明存在实数h使得PQ=k/iS.解：如阁建立空间直角坐标系，则0(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4，0),0

11、,(0,0,2),A,(3,0,2),B,(0,4,2),£(3，4,0).—*2—**24•：AP=2PA]f:.AP=-AA}=-(0,0,2)=(0,0,-),4•••mo,-)-2同理可得：2(0,2，2),7?(3,2,0),5(0,4,-)-•••0=(—3,2,吾)=远，:.PQIIRS，又脱PQ，:.PQ//RS.【评述】1、证明线线平行的步骤：⑴证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不迕另一个向量所A的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明，连接P/?,0义证明是平行四边形即可，请完成这个证明.例2已知正方体AB

12、CZ)—中，A/,7V,£，F分别足棱A,B,,D,CP的中点，求证：〒面AMA7/T面【分析】要证明血血平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法14景平行.解法一：设正方体的棱长为4,如图建立空间直角哗韧系，则Z)(0,0,0)，A(4,0,0),M(2,0,4),M4,2,4),B(4,4,0),£(0，2,4),F(2,4，4).取WV的巾点/r,的巾点G,川9的巾点0，则0(2,2，0)，/C(3，1,4)，G(l,3,4).MN=(2t2,0),EF=(2,2,0)，AK=(-f1,4),OG=(-1,1,4),MN/

13、/£F,JK=OG,:.MN//EF,AK//OG,.••AW//平而AK//平而.•.平面AAW//平面EFBD.解法二：设平曲AMV的法昀景是，化，化)，平的法昀景是b=(bfZ?2»^3)-由a.AA1=0,a-AN=09得”=0,取…=i,得“，2,_2,12«2+4“3=0，由b.DE=Q，b.BF=0,!)•2b2+4/?,=0,-2/?,+4/?3=0,•••«///>,•••平而AMA7/平而£FB£).注：木题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.例3在正方体—屮，/W,/V足棱ABp的屮点，求异面直线A

14、M和OV所成角的余弦值.解法一：设正方体的棱长为2,如图建立空间直角华标系，则7)(0,0,0)，A(2,0,0),A/(2,1,2),C(0,2,0