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《同济第六版《高等数学》教案第11章无穷级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学教案§11无穷级数第十一章无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会
2、由此求出某些常数项级数的和。9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、，和的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨
3、判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案§11无穷级数1、泰勒级数；2、傅里叶级数的狄利克雷定理。§11.1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数:给定一个数列u1,u2,u3,×××,un,×××,则由这数列构成的表达式u1+u2+u3+×××+un+×××叫做常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为,即,其中第n项un叫做级数的一般项.级数的部分和:作级数的前n项和称为级数的部分和.级数敛散性定义:如果级数的部分和数列有极限s,即,则称无穷级数收敛,这时极限s叫做这级数的和,并写成内蒙
4、古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案§11无穷级数;如果没有极限,则称无穷级数发散.余项:当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值rn=s-sn=un+1+un+2+×××叫做级数的余项.例1讨论等比级数(几何级数)的敛散性,其中a¹0,q叫做级数的公比.例1讨论等比级数(a¹0)的敛散性.解如果q¹1,则部分和.当
5、q
6、<1时,因为,所以此时级数收敛,其和为.当
7、q
8、>1时,因为,所以此时级数发散.如果
9、q
10、=1,则当q=1时,sn=na®¥,因此级数发散;内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案§11无穷级数当q=-1时,级数成为a-a+
11、a-a+×××,时
12、q
13、=1时,因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,所以sn的极限不存在,从而这时级数也发散.综上所述,如果
14、q
15、<1,则级数收敛,其和为;如果
16、q
17、³1,则级数发散.仅当
18、q
19、<1时,几何级数a¹0)收敛,其和为.例2证明级数1+2+3+×××+n+×××是发散的.证此级数的部分和为.显然,,因此所给级数是发散的.例3判别无穷级数的收敛性.解由于,因此内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案§11无穷级数从而,所以这级数收敛,它的和是1.例3判别无穷级数的收敛性.解因为,从而,所以这级数收敛,它的和是1.提示:.二、收敛级数的基本性质性质1如果级数收敛于和
20、s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,且其和为ks.性质1如果级数收敛于和s,则级数也收敛,且其和为ks.性质1如果,则.这是因为,设与的部分和分别为sn与sn,则.内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案§11无穷级数这表明级数收敛,且和为ks.性质2如果级数、分别收敛于和s、s,则级数也收敛,且其和为s±s.性质2如果、,则.这是因为,如果、、的部分和分别为sn、sn、tn,则.性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.比如,级数是收敛的,级数也是收敛的,级数也是收敛的.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.
21、应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,级数1-1)+1-1)+×××收敛于零,但级数1-1+1-1+×××却是发散的.推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.级数收敛的必要条件:内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案§11无穷级数性质5如果收敛,则它的一般项un趋于零,即.性质5如果收敛,则.证设级数的部分和为sn,且,则.应注意的问题
