论文：模糊数学的基本理论的初步研究

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1、模糊数学的基本理论的初步研究李鹏摘要：模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。本文介绍模糊集合及其运算、模糊矩阵与模糊关系、模糊逻辑与模糊推理的基本内容及应用，模糊数学是相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。关键词：模糊数学；模糊集合；隶属函数；模糊语言；模糊矩阵;模糊关系；模糊逻辑康托创立的经典集合论是经典数学的基础，它是以逻辑真值为的数理逻辑基础的，扎德创立的模糊集合是模糊数学的基础，它是以逻辑真伉为的模糊逻辑为基础的，它是对经典集合的幵拓。一、模糊数

2、学的创立和发展模糊数学又称Fuzzy数学。“模糊”二字译自英文“Fuzzy”一词，该词除有模糊意思外，还有“不分明”等含意。有人主张音义兼顾译为“乏晰”等。在此将Fuzzy译为模糊，或直接采用原文。随着科学研究的不断深入，研究的对象越来越S杂,要求对系统的控制精度越来越高，而杂的系统是难以精确化的，这样，复杂性与精确性就形成了十分尖锐的矛盾。科技工作者在实践中总结出了“不兼容原理”，即：当一个系统复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减小，在达到一定阔值(即限度)之上时,复杂性和精确性将相互排斥。这一原理指出，高精度与高复杂性是不兼容的。美国加里福尼亚大学扎德(L.A.Zade

3、h,1912)教授仔细地研宄了这个问题，他发现古典集合论屮的集合概念必须进行推广，这样有利于用数学模型来描述某些现象屮的模糊性。1965年，Zadch教授发表了《模糊集合论》论文，提出用“隶属函数”这个概念来描述现象差异的中间过渡，从而突破了古典集合论巾属于或不属于的绝对关系。Zadeh教授这一开创性的工作，标志着数学的一个新的分支一一模糊数学的诞生。控制论创始人维纳在谈人胜过任何最完善的机器时说：“人具有运用模糊概念的能力”。人脑能对模糊事物进行识别和判决，但计算机对模糊现象识别能力较差，为提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序

4、，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率，这就推动数学家深入研宂模糊数学。模糊数学是研宂和处理模糊现象的，所研宂的事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以确定，这却由于概念的外延的模糊而造成的不确定性称为模糊型(fuzziness)。在(0,1)上取值的隶属函数就描述了这种模糊性。二、模糊集合论提起数学来，人们自然会联想到“精确”二字，精确数学是建立在集合论的基础上，在康托创立的经典集合论屮,经典集合所表达概念的IV涵和外延都必须是明确的，一事物要么属于某集合，要么不属于某集合，二者必居其一，绝不允许模棱两可！但在人们的

5、思维中，有许多没有明确外延的概念，即模糊概念。语言上有许多模糊概念的词，例如以人的年龄为论域，那么“年青”、“中年”、“老年”都没有明确的外延：或者以人的身高为论域，那么“高个子”、“中等身材”、“矮个子”也没有明确的外延。所以诸如此类的概念都是模糊概念。模糊概念不能用经典集合加以描述，这是因为不能绝对地区别“属于”或“不属于”，就是说论域上的元素符合概念的程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。Zadeh以精确数学集合论为基础，他提山用“模糊集合”作为表现模糊讲物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，幵展有关的理论研宄。Zadeh认为，指明各个元

6、素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。(一)模糊子集的定义及表示设给定论域(7，C/到［0，1］的任意映射仏：C7［0，1］u都确定［/的一个模糊子集成为模糊子集的隶属函数，称为w对于A的隶属度。隶属度也可记为A(w)。在不混淆的情况下，模糊子集也称模糊集合。论域t/上的模糊子集A有隶属函数来表征，/<4(幻取值范围为闭区间［0，1］,/<,(幻的大小反映了对于模糊从属程度。//A(w)的值接近于1,表示w从属于>1的程度很高；Ww)的直接-~-近于0,表示《从属于A的程度很低。可见，模糊子集完全由隶属函数所描述。当的值域={0,1}时，/

7、/八幻蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集A便蜕化成一个经典子集。由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合概念的推广。模糊集合的表达方式有以下几种：1.当f/为有限集^^2，...3」时通常有如下三种方式：(1)Zadeh表示法A(w,)雄2)A(w„)A=++...+〜w,u2un•,)其中^_并不表示“分数”，而是表示论域［/中的元素％与其隶属度之间的对应关系。“+”ut〜也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域上的整体。(2)序偶表示法将论域中的元素％与其隶属度A(W/.)