2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及答案

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1、2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月8日下午4：00—6：00）班级：:姓名：成绩：题号一二三四五合计得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知，则，x，的大小关系是（）A、B、C、D、QP

2、ACBD2、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP， 过P作，PQ交CD于Q，若，则正方形ABCD的面积为（）A、B、16C、D、323、若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A、B、C、D、ACDB4、如图，在四边形ABCD中，，，，，，则AD边的长为（）A、B、C、D、5、方程的正整数解（x，y）的组数是（）A、0B、1C、3D、56、已知实数x，y，z满足，则的值是（）A、B、0C、1D、2二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、x是正整数，表示x的正约数个数，则③×④÷⑥等于．2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24

3、天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是．3、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，，，且，则AB的长是．MNACDB4、小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入（）个数，且平均值为30.75，假设这（）个数输入无误，则漏输入的一个数是．三、（本大题满分20分）解方程四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，.求证：ACDB五、（本大题满分25分）已知二次函数和一次函数，其中a、b、c满足，．．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A

4、、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为、．求线段的长的取值范围。2013年全国初中数学联赛（初三组）初试解答一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1.已知，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．解：由，得，从而，所以，又，所以．故选D．2.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP， 过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为A．B．16C．D．32解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G．易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以FQ＝FD＝EP

5、＝，因此正方形ABCD的边长为，所以面积为．故选C．3.若实数，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：将原式看作为关于b的一元二次方程，则其判别式，解得．故选A．4.如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，那么BM=AM=，CN=3，DN=，，所以48，所以AD=．故选B．5.方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．3D．5解：不妨设，则，所以，解得．又显然，即．经验证：均不符合条件．所以，符合条件的解的组数为0组．故答案选A．1.已知实数

6、满足，则的值是（）A．B．0C．1D．2解：显然，否则由已知得即所以．故选B．一、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1.是正整数，○x表示的正约数个数，则③×④÷⑥等于．解：③，④，⑥，所以③×④÷⑥．故填．2.草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是．解：设草原上原有草量为a，每天长出量为b，并设20头牛在x天内可以吃完这片青草．因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组．由得．代入中，得，解得．故填96．3.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别

7、是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且，则AB的长是．解：延长AM交DC的延长线于F，则△AMB≌△FMC．则CF=AB，则NF=，过N作NH垂直AF于H，则AH=，，故，．所以．故填．1.小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入个数，且平均值为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是．解：依题意得，所以，即，所以n=60或61．因为是整数，所以n=61．所以漏输入的数为．故填46．一、（本大题满分20分）解方程．解：当时，原方程可化为，解得，．又因为，故应舍去．10分当时，原方程可化为，解得，．又因为，故应舍去．所

8、以原方程的