2016年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷含答案

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1、2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）班级：:姓名：成绩：题号一二三四五合计得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a、b满足，则等于（）A、B、2C、D、52、如图，点D、E分别在的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、、、的面积分别为、、、，则与的大小关系为（）A、B、F第2题图EDBACO3O1第2题图BACO2C、D、不能确定3、

2、对于任意实数a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“”定义为：.如果对于任意实数m，n都有，那么为（）A、（0，1）B、（1，0）C、（-1，0）D、（0，-1）4、如图，已知三个等圆⊙、⊙、⊙有公共点O，点A、B、C是这些圆的其他交点，则点O一定是的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心5、已知关于x的方程有四个根，则k的范围为（）A、B、C、D、6、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时，R离开地面的高

3、度为h，梯子的倾斜角为，则小巷的宽度w等于（）A、hB、kC、D、二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、化简的值为．8、如果关于x的实系数一元二次方程有两个实数根、，那么的最小值是．9、设四位数满足，则这样的四位数有个．10、如图，MN是⊙O的直径，，点A在⊙O上，，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为．三、（本大题满分20分）11、设实数a，b，c满足：且，求的值。OMNPA四、（本大题满分25分）12、已知抛物线与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），与y轴交于点C.（1）求m的取值范围；（2）若，在该抛物线对称轴右边

4、图像上求一点P的坐标，使得.五、（本大题满分25分）13、如图，等腰三角形ABC中，，D，E分别在AB，AC边上，且.P在AB的延长线上，QR分别在线段CE、DB上，且，连结直线PQ与BC交于点L，QR与CD，BE分别交于点M，N.求证：（1）；LQMERNPDBA（2）2016年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、C．2、C．3、D．4、C．5、B．6、A．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、．8、18．9、3．10、．三、（本大题满分20分）11、解：由14(a2+b2

5、+c2)=(a+2b+3c)2，得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0，（5分）配方得(3a-c)2+(2a-b)2+(3b-2c)2=0，（10分）所以3a-c=0，2a-b=0，3b-2c=0，即c=3a，b=2a．（15分）代入得==．（20分）解法二：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0，（5分）5[c2-2()c+()2]+13a2+10b2-4ab-=0，5(c-)2+a2+b2-ab=0，所以5(c-)2+(2a-b)2=0，（10分）由此得，c-=0，2a-b=0

6、，解得b=2a，c=3a．（15分）代入得==．（20分）四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解，所以D=[2(m+1)]2+4(m+3)=4m2+12m+16=(2m+3)2+3＞0，可知m是任意实数．（5分）又因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上．所以方程，-x2+2(m+1)x+m+3=0的两根一正一负，所以-(m+3)＜0，解得m＞-3．所以所求m的取值范围是m＞-3．（10分）（2）解法一：设点A(a，0)，B(b，0)，a＞0，b＜0，则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(

7、m+3)，解得m=0．函数解析式为y=-x2+2x+3．（15分）所以A(3，0)，B(-1，0)，C(0，3)。由∠PCO=∠BCO可知BC与PC关于直线OC对称。作B关于OC的对称点B′，则B′(1，0)，设直线PC是一次函数y=kx+b的图象，则，解得。即PC是一次函数y=-3x+3的图象。把y=-3x+3代入y=-x2+2x+3，得-3x+3=-x2+2x+3，（20分）解得x=0，x=5，当x=0时，y=3，此时点P与点C重合，不合题意，舍去；当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)．故抛物线对称轴右边图象上有一点