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1、湖州市第三届教学研究论文评比参评论文类别：数学推荐选送单位湖州中学抓住数学本质激活学生多元思维——对年湖州市《高三第一学期期末考试样卷》一试题的开放式探究湖州中学张萍慧笔者从两个问题展开：问题一：年湖州市《高三第一学期期末考试样卷》最后一题：一条斜率为的直线与离心率为的双曲线交于两点，直线与轴交于点，且求双曲线的方程。若点双曲线的右焦点，是双曲线上的两点，且，求实数的取值范围。问题二：一道高考题：设抛物线的焦点为的直线交抛物线于两点，在抛物线的准线上，轴。求证：直线过原点。问题一的第一小题过程略，第一小题求解的双曲线方程结果是。第二小题参考答
2、案提供的的解答过程较烦琐，运算量也不小，所以对于问题一的第二个小题，要得分几乎是个小概率事件。笔者从本校随机抽取了份答卷进行失分原因分析，主要有：考试时间来不及，根本没看题目。平时课堂上只讨论过用设方程用，转化为韦达定理求解。而本题设时用转化时涉及到分式方程，求解太繁，故放弃了。希尔伯特指出：“解决一个数学问题，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有得到更一般的观点，即眼下要解决的问题只不过是一连串问题中的一个环节而已”。对于问题二，这是一道虽然不难但是很有内涵的题，在第一轮的复习中教师经常会讲解这个例题。笔者要在这里说的是：事实上，这两
3、个问题的基本思想是一致的！5全国《普通高中数学新课程标准》指出：“在数学教学中，不仅是学习形式化的表达，更要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里”。2006年数学考试大纲指出：“以能力立意”仍然是高考命题的命题思想。究其实质，就是考察学生的数学思维品质和综合素养。作为高三数学教师，很多时候我们总是在抱怨：我们的学生到底怎么了？怎么这么不经考？效果怎么这么差？成绩上不去？事实上作为高三教师的我们应该反思：经过高三一轮的复习，该整理的问题、该归纳的知识点、该操练的解题方法虽然都已经梳理过了，合理的知识体系和知识
4、结构也初步形成了，但复习后学生的思维似乎僵化了，解题的方法似乎变单一了，创新能力似乎丧失了！笔者认为，高三复习课正是因为不象新授课受到教材的限制，所以在课堂内，在教学内容和方法上给师生提供了更广阔的自由空间，更容易创设出“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的意境，也更容易激活学生的多元思维。在本文中，笔者以本文开头的两个问题为案例,进行开放式探究，从一个视角探讨“把握数学本质”进行“有效学习”。一、以解决问题的策略开放为思维的生长点，诱导学生步入发散思维的空间。对于问题二，我们可以考虑从同一个条件出发发射多种策略或最优策略，从不同的角度解决问题，所谓策
5、略开放。顺理成章，抓住整体特征，培养学生思维的逻辑性。数学精神首先体现于数学的理性精神，这种理性精神集中表现为数学的逻辑性。数学问题的解决最主要的特点就是顺理成章，“循理而上”，这种理性精神令人神往，令人折服。对于问题二，此题设与待求之间存在着紧密联系和环环相扣的逻辑链条，只要有关知识和技能熟悉，顺“理”必成章，循“理”必能上。一般地，把问题当作一个整体来分析，从全局出发，领悟本质，抓住斜率相等这个本质特征迅速产生解题思路。简证：设则如右图所示。，，又，又因为是经过抛物线的焦点的弦，所以结论成立，，得证。5此解法朴素自然，属基本解法。智力流动
6、，抓住几何特征，促进学生思维的敏捷性。“形少数时难如微，数缺形时难直观。”事实上，对于问题二，若能从数形结合的思想出发,抓住轴这个几何特征,合理观察、联想、由数思形，由形思数，通过平行线段成比例,揭示问题的本质，以提高学生思维的敏捷性。简证：设过点作垂直于准线于点。如图所示。由轴得,且由抛物线定义得所以;同理可得,及,,得证.交叉互动,构造向量,提高学生思维的灵活性。数学知识体系的综合性要求学生的思维品质有一定的广度,这样才能在问题解决时不受思维定势的束缚，善于发现新的联系，寻找新的途径和新的方法，将知识进行“新的组合”，形成智力流动，达到灵
7、活运用，潜能喷发的境界。事实上,问题一可以通过向量方法判断。三点共线可转化为共线,从而把的等量关系划归为坐标运算,具体证明略。一、以结论开放为思维的连结点，培养学生思维的广阔性。深层次地挖掘问题的背景特征,有利于透过现象看到本质,从而抓住问题的实质,产生意想不到的感悟。我们可以从原条件出发去探究题目中所有隐藏的数量关系、位置关系等等，并说明理由，达到以点带线、以线及面、以面固体的目的。事实上，对于问题二，我们可以对所证明得到的结论做如下的拓广：拓广一：年的一道高考题：设抛物线的焦点为的直线交抛物线于两点，在抛物线的准线上，轴。求证：为线段的中
8、点。（证明略）而特殊寓于一般之中，透过特殊，我们既见树木，又见森林！拓广二：设是圆锥曲线的一个焦点，是对应的一条准线，与圆锥曲线的对称轴交与，是过的弦，是上一点，平
