科学计算复习要点

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1、数值分析复习要点引论1数值计算研究的对象与特点计算方法研究的对象是专门研究各种数学问题的计®机解法(数值解法)，包括方法的构造和求解过程的理论分析及软件实现,包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析等.计算方法即具有纯数学的抽象性与严密性的特点，又具有应用的广泛性与实验的技术性特点.2误差的概念2.1误差的来源模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差.测量误差：在测量具体数据时产生的误差称为测量误差.截断误差：数学模型的准确解与数值方法的准确解之间的误差称为截断误差.舍入误差：由于计算机字长的限制而产生的误差,称为舍入误差.2.2误差的度量(1).绝对误

2、差与绝对误差限(2).相对误差与相对误差限(3).有效数字2.3误差的传播和、差的误差限不超过各误差限的和.积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和.3数值计算的若干原则避免两相近数相减和绝对值太小的除数、简化计算步骤、使用数值稳走的算法方程求根1二分法用二分法求方程/Cv)=0的实根;V*的近似值,其主要思想是:将含有根的隔离E间二分，通过判断二分点与边界点函数值的符号,逐步对半缩小隔离区间，直到缩小到满足精度要求为止，然后取最后二分区间的中点为根的近似值.2迭代法一般地，为了求一元非线性方程Jx)=0的根,可以先将其转换为如下的等价形式x=p(x)然后构造迭代公式.x

3、k+i=(p{xk)k=0,1,23收敛性和收敛速度(收敛性基本定理)的条件和结论收敛速度的快慢可用收敛阶来衡量.(收敛阶)设序列收敛到/，并记误差ek=

4、xk-x.若存在常数p1和c#0,使得：lim^y-=c则称序列｛^d=o是P阶收敛的，当p=1时，称力线性收敛，当P>1时，称力超线性收敛,当P=2时，称为二次收敛或平方收敛.4牛顿迭代公式及其收敛性牛顿迭代公式牛顿法的收敛性•w舒，’2设/是方程/W=o的单根，并且广⑴在/的邻域上连续，则牛顿迭代法（3.4.1）至少平方局部收敛.解线性方程组的直接法1局斯消去法消元过程为：对々=1，2,…，n-1逐次计算：4以';

5、/'々'“：“1，•••，"），<崎'、-，（i，j=k+，…，n）⑽-”，（i=k+U…，n）回代过程：逐步回代求得原方程组的解人=（d：打-1"7-2，."，1）;=Jt+l高斯消去法的乘除法总计算量为：I/?3+l^_6/?+l/?2+ln=lz?3+722_l/?32522332高斯一约当消去法约当消去法的计算过程为：对于众=1，2,…，《计算：3幻=<-0/必〜=々+1，".，打+1）、;幻x々，=l，2,…，n且，•“;；=々+l，々+2，".，n+l）乘除法的总次数力.•它比高斯消去法的计算量大，但不需要冋代过程3向量和矩阵的范数、条件数范数:1范数114也

6、I2范数114也f）oo范数11^1^=max/=!/=1矩阵的范数设.r为A2维向量，A为H阶方阵，则算子范数：

7、

8、A

9、L=max称为矩阵A的行范数。11/4^=maxt

10、%

11、称为矩阵A的列范数。1=1设/I为，Z阶可逆矩阵,则称数c^/（a）=

12、

13、a-,

14、

15、.

16、

17、a

18、

19、为条件数：CondJA）=\Ai-\A-[l，CW,⑻=

20、

21、4•

22、卜1Cond^=\A\2]A-f_分别称为A的co—条件数,1-条件数，2-条件数解线性方程组的迭代法1雅克比迭代法的迭代公式:X；(k+)a：：-^aijX(P+bi矩陈形式：x(^l)=BjX(k)+fjBj=I-D^A,

23、fj=D—'b2高斯一赛德尔迭代法迭代公式为:U+DaaE7=1w+1)E;=/+laiT+bi成矩阵形式，+1）=BG—Sx⑻+fG-SBg_s={D-LYU,JG_S=(D-Ly]b3迭代法的收敛性判断（迭代法收敛的基本定理）设有n阶方程组对于任意初始向和右端项/，迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径p（B）

24、

25、B

26、

27、<1,则由迭代公式（5.1.3）所产生的向量序列｛^4收B1-B<敛于方程组x=的精确解/,且有误差估计式Bk1-Bx(幻-V

28、克比和高斯一赛德尔迭代法收敛。函数插值1插值的基本概念包括线性插值、抛物插值和多项式插值的存在惟一性。2拉格朗口插值nn'•=0j=0i本ix-Xjxi-xj)>73插值余项与误差估计若/(x)在a,b上的插值多项式为Ln(x),则称R„(x)=为Ln(x)的插值余项(也称误差)。设,U)在[“，办]上的《+1阶导数连续，记为/(x)eCn+i[a,b]Sf(x)在互异节点a