热力学统计物理12319

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1、1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。解：根据热力学第一定律，有　　（1）对于准静态过程有对理想气体有气体在过程中吸收的热量为因此式（1）可表为　（2）用理想气体的物态方程除上式，并注意可得（3）将理想气体的物态方程全式求微分，有　（4）式（3）与式（4）联立，消去，有（5）令，可将式（5）表为　　（6）如果和都是常量，将上式积分即得（常量）。　　（7）式（7）表明，过程是多方过程。2.8　证明并由此导出根据以上两式证明，理想气体的定容热

2、容量和定压热容呈只是温度T的函数.解：式（2.2.5）给出（1）以T，V为状态参量，将上式求对V的偏导数，有（2）其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）.由理想气体的物态方程知，在V不变时，是T的线性函数，即所以这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T的函数.在恒定温度下将式（2）积分，得（3）式（3）表明，只要测得系统在体积为时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.同理，式（2.2.8）给出（4）以为状态参量，将上式再求对的偏导数，有　　（5）其中第二步交换了求偏导数的

3、次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）.由理想气体的物态方程知，在不变时是的线性函数，即所以这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T的函数.在恒定温度下将式（5）积分，得式（6）表明，只要测得系统在压强为时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.3.12　蒸气与液相达到平衡.以表示在维持两相平衡的条件下，蒸气体积随温度的变化率.试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为解：蒸气的两相平衡膨胀系数为　　（1）将蒸气看作理想气体，，则有（2）在克拉珀龙方程中略去液相的摩尔体积，因而有（3）将式（2）和式（3）代入式（

4、1），即有4.1若将看作独立变量的函数，试证明：（a）（b）解：（a）多元系的内能是变量的一次齐函数.根据欧勒定理（式（4.1.4）），有（1）式中偏导数的下标指全部个组元，指除组元外的其他全部组元.（b）式（4.1.7）已给出（2）其中偏摩尔体积和偏摩尔内能.将式（2）代入式（1），有（3）上式对的任意取值都成立，故有（4）4.2证明是的零次齐函数解：根据式（4.1.9），化学势是组元的偏摩尔吉布斯函数（1）G是广延量，是的一次齐函数，即（2）将上式对求导，有（3）（4）令式（3）与式（4）相等，比较可知（5）上式说明是的

5、零次齐函数.根据欧勒定理（式（4.1.4）），有（6）7.13试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于与之间的分子数为解:参照式（7.3.16），单位时间内碰到法线方向沿轴的单位面积器壁上，速度在范围内的子数为（1）用速度空间的球坐标，可以将式（1）表为（2）对和积分，从0到从0到有因此得单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于与之间的分子数为（3）8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射.（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.

6、4.6）已给出在体积V内，在到的圆频率范围内光子的量子态数为（1）温度为T时平均光子数为（2）因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为（3）引入变量，上式可表示为或（3）在1000K下，有在3K下，有8.14试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解:根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为（1）其中是费米动量，即0K时电子的最大动量.据此，电子的平均动量为（2）因此电子的平均速率为（3）