2015年高考数学数列解答题专题

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2015年高考试题汇编数列1.（15北京理科）设是等差数列.下列结论中正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2.（15北京理科）已知数列满足：，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8【解析】①试题分析：（Ⅰ）由，可知则；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.第二步集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数；第三步由于中的元素都不超过36，中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，和除以9的余数一样，分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况，研究集合M中的元素个数，最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知可知：（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外， M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析..（15北京文科）已知等差数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【答案】（1）；（2）与数列的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成和d，解方程得到和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d.因为，所以.又因为，所以，故. 所以.（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.所以.由，得.所以与数列的第63项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.4.（15年广东理科）在等差数列中，若，则=【答案】．【解析】因为是等差数列，所以，即，，故应填入．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．5.（15年广东理科）数列满足,.(1)求的值；(2)求数列前项和；(3)令，，证明：数列的前项和满足【答案】（1）；（2）；（3）见解析． （3）依题由知，， 【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前项和、不等式放缩等知识，属于中高档题．6.（15年广东文科）若三个正数，，成等比数列，其中，，则．【答案】【解析】试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．考点：等比中项．7.(15年广东文科)设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列； 求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.8.（15年安徽理科）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标， （1）求数列的通项公式；（2）记，证明.9.（15年安徽文科）已知数列中，，（），则数列的前9项和等于。【答案】27考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和.10.（15年安徽文科）已知数列是递增的等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。 【答案】（1）（2）＝.[学优高考网]考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法求和.11.（15年福建理科）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】试题分析：由韦达定理得，，则，当 适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．考点：等差中项和等比中项．12.（15年福建文科）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．【答案】9考点：等差中项和等比中项．13.（15年福建文科）等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得，进而求的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I）设等差数列的公差为． 由已知得，解得．所以．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．14.（15年新课标2理科）等比数列｛an｝满足a1=3，=21，则()（A）21（B）42（C）63（D）84【答案】B15.（15年新课标2理科）设是数列的前n项和，且，，则________．【答案】【解析】由已知得，两边同时除以，得 ，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．16.（15年新课标2文科）设是等差数列的前项和,若,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题解析：,.故选A.考点：等差数列17.（15年新课标2文科）已知等比数列满足,,则（）【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,所以,故,选C.考点：等比数列.18.（15年陕西理科）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】【解析】试题分析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．考点：等差中项．19.（15年陕西文科）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________【答案】5 考点：等差数列的性质.20.（15年陕西文科）设(I)求；(II)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.【答案】(I)；(II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题设，所以，此式等价于数列的前项和，由错位相减法求得；(II)因为，，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得故，继而得.试题解析：(I)由题设，所以①由②①②得 ，所以(II)因为，所以在内至少存在一个零点，又所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以由此可得故所以考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.21.（15年天津理科）已知数列满足，且成等差数列.(I)求q的值和的通项公式； (II)设，求数列的前n项和.【答案】(I);(II).【解析】试题分析：(I)由得先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.试题解析：(I)由已知，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，，当时，，所以的通项公式为 考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前项和公式.3.错位相减法.22.（15年天津文科）已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.（I）求和的通项公式；（II）设,求数列的前n项和.【答案】（I）,；（II）【解析】试题分析：（I）列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项；（II）用错位相减法求和.试题解析：（I）设的公比为q,的公差为d,由题意,由已知,有消去d得解得,所以的通项公式为,的通项公式为.（II）由（I）有,设的前n项和为,则两式相减得所以.考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.23.（15年天津文科）已知函数（I）求的单调性；（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数,都有;（III）若方程有两个正实数根且,求证：. 【答案】（I）的单调递增区间是,单调递减区间是；（II）见试题解析；（III）见试题解析.【解析】试题解析：（I）由,可得,当,即时,函数单调递增；当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（II）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有. 考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.24.(15年浙江理科)25.（15年湖南理科）设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则.【答案】. 考点：等差数列的通项公式及其前项和.26.（15年山东理科）设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.解：（Ⅰ）由可得，而，则（Ⅱ）由及可得.27.（15年江苏）数列满足，且（），则数列的前10项和为【答案】【解析】 试题分析：由题意得：所以考点：数列通项，裂项求和28.（15年江苏）设是各项为正数且公差为d的等差数列（1）证明：依次成等比数列；（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；[来源:学科网ZXXK]（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在（2）令，则，，，分别为，，，（，，）． 假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，则，且．令，则，且（，），化简得（），且．将代入（）式，，则．显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，则，且．分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且．将上述两个等式两边取对数，得，且．化简得，且．再将这两式相除，化简得（）．令，则．令，则． 令，则．令，则．由，，知，，，在和上均单调．故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程