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1、排队论一排队系统组成1）输入过程；2）排队及排队规则；3）服务机构三部分输入过程队列服务机构排队系统顾客服务完离开1）输入过程输入过程队列服务机构排队系统顾客服务完离开2）排队及排队规则输入过程队列服务机构排队系统顾客服务完离开213）服务机构三部分输入过程队列服务机构排队系统顾客服务完离开二、基本排队模型－记号方案—Kendall记号：X/Y/Z/A/B/CX表示相继到达间隔时间的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台数目；A表示系统的容量；B表示顾客源数目；C表示服务规则ServerQueueArrival模型①M/M/1/+∞/+∞/FCFS；②M/M/1/N
2、/+∞/FCFS③M/M/1/+∞/m/FCFS；④M/M/c/+∞/+∞/FCFS⑤M/M/c/N/+∞/FCFS；⑥M/M/c/+∞/m/FCFS三、判断系统运行优劣的基本数量指标1、队长（顾客数）为系统状态,队长期望；2、排队长（等待服务的顾客数）；3、逗留时间；4、等待时间W；5、忙期B（服务台连续忙期）；6、闲期I（服务台连续闲期）系统的状态：某时刻系统中的顾客数（随机变量）,系统状态的概率四、排队论研究的基本问题1、统计推断问题2、分析213、优化第一节possion流—纯生过程一、模型中符号说明：——计数过程，其中——在时间内到达的顾客数。二、possi
3、on流定义称计数过程为具有参数的possion流。若它满足：1）零初始状态,2）独立增量性性（在任一时间间隔上过程状态的改变,不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。）;3）平稳增量性或齐次性或时齐性;4）普通性（系统状态不会突变）。用数学语言刻画,即若它满足下列4个条件：1）系统的零初始状态：。2）独立增量性：若对任意的正整数和;随机变量,,,,,是相互独立的。即3）平稳增量性：若对任意的和任意的,,,随机变量与服从相同的概率分布。这种过程的特点是：它的增量的分布仅依赖于时间间隔的长度,而与时间起点无关。4)普通性：a)对于充分小的,在时间区间内,有1个顾客
4、到达的概率与t无关;而只与区间长成正比。即。其中,表示单位时间有一个顾客到达的概率,称为顾客强度。b)有2个或2个以上顾客到达的概率极小,以致可以忽略。即定理若为possion过程,则1）;2）;3）。证明步骤1由普通性容易推得在区间内没有顾客到达的概率步骤2建立求解的差分微分方程。为了建立求解,下面建立其差分微分方程。将时间区间分成两个互不重叠的区间和。并分两种情况,分别建立相应的差分微分方程。情况1当时。假设时刻到达顾客总数为n。n个顾客的到达情况见表1。表1时顾客到达情况可能顾客数概率简记可能顾客数概率由表1知,(互斥性）（独立增量性）代入表1中的概率得21=利
5、用平稳性,将和简记为,。经整理上式为,即。考虑到零初始状态的条件（）,可得求解当时的差分微分方程：。该式为关于的微分,的差分的差分微分方程情况2时。假设时刻到达顾客总数为。n个顾客的到达情况见表2。由表2知,表2时顾客到达情况可能顾客为A概率简记可能顾客为B概率,即考虑到零初始状态的条件（）,可得求解当时的差分微分方程：,该式为关于的微分方程。步骤3差分微分方程的求解情况1时情况2时,的解为的解为情况1的求解。,,,。利用初始条件。得故情况2的求解。。方程两边乘因子21当时,,当时,,，递推得。综合情况1和2的结果,得。第2节Possion流与负指数分布的关系排队论中
6、一个感兴趣的问题时，当输入过程是Possion流时，顾客相继到达的间隔时间T服从什么规律。定理设是具有参数的泊松过程，即是对应的时间间隔序列，则随机变量是独立同分布的，且服从均值为的负指数分布，即。证明因为是Possion过程中第一个顾客到达的时间，所以时间等价于内没有顾客到达。故，进而可得所以是服从均值为的负指数分布。1、利用Possion过程的独立、平稳增量性质，得21即，故也是服从均值为的负指数分布。2、对于任意的和有即，所以对任一，它都服从均值为的负指数分布。证毕。第3节负指数分布的性质定理负指数分布的无后效性和纯随机性。证明因为，即，所以又因为，所以这个性质
7、说明一个顾客到来所需时间与过去一个顾客到来所需时间s无关。第4节爱尔兰分布（分布）定理2设为与泊松过程对应的一个等待时间序列，则第次事件发生的时间的概率密度为分布，即证因为事件等价于事件，故上式对微分得，证毕。上式又称为爱尔兰分布，它是个互相独立且服从指数分布的随机变量之和的分布密度函数。当一个顾客进入由个服务台组成的服务系统，每个服务台对该顾客服务的时间都服从参数为的指数分布时，则该顾客接受全部服务的时间便服从爱尔兰分布（分布）。当时，上式便是指数分布，holdofffork=1:20:3000mu=3;t=0:0.1:10;y=(k/mu*(k/
