三角形中的几个巧合点

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1、三角形中的几个巧合点三角形中有几个有趣的巧合点，它们是三角形的内心、外心、重心、垂心和旁心等．读者可以按以下各例的要求，用折纸的方法求出这五心，也可以用规尺作图的方法作出五心．例1证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3－110)．证因为AX，BY是∠A，∠B的平分线，所以AX，BY必相交于一点，设此点为I(不然的话，AX，BY必平行，则∠BAX+∠YBA=180°，这是不可能的)，所以I与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，所以I与AC，BC边

2、等距，所以I必在CZ上，所以AX，BY，CZ相交于一点．说明若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点．由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心．例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于一点(图3－111)．分析仿照例1的思考方法，先证XX′，YY′交于一

3、点O，再证O点必在ZZ′上即可．证因为XX′，YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线，所以XX′，YY′必相交于一点，设为O(否则，XX′∥YY′，那么∠C必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC，OC=OA，所以OB=OA，所以O点必在AB的垂直平分线ZZ′上，所以XX′，YY′，ZZ′相交于一点．说明由于O点与△ABC的三个顶点A，B，C距离相等，所以以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过A，B，C三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O点称为三角形的外心．例3证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为

4、2∶1．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG∶GX=2∶1(图3－112)．证设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E．由于X，Y分别是BC，AC的中点，所以XYDE，所以，四边形DEXY为平行四边形，所以GD=DA=GX，GY=GE=EB，所以AG∶GX=2∶1，BG∶GY=2∶1．同理，若BY与CZ相交于一点G′，必有BG′∶G′Y=2∶1，G′C∶G′Z′=2∶1，所以G′与G重合．所以三角形三条中线相交于一点．说明为什么称G点为△ABC的重心呢？这可以从力学得到解释．设△ABC

5、为一个质量均匀的三角形薄片，并设其重量均匀集中于A，B，C三点，如果把B，C两点的重量集中于BC边中点X时，那么△ABC的三顶点A，B，C的集中重量作了重新分配．若A点为1，则X点为2，因此在AX上的重心支撑点必在AG∶GX=2∶1处的G点．这样一来，如果在G点支起三角形，那么△ABC必保持平衡，所以G点为三角形的重心(图3－113)．例4证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心．已知：如图3－114，△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．分析要证AX，BY，CZ相交于一点，可以利用前面的证明方法

6、去证，也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明．为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．证分别过A，B，C作对边的平行线，则得到△A′B′C′(图3－114)．由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，所以AC′=BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC∥B′C′，所以AX⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理，BY，CZ分别为A′C′，A′B′的垂直平分线，所以A

7、X，BY，CZ相交于一点H(例2)．说明本题的证法是把本题转化为已知命题(例2)来论证的，可见转化思想在解题中的重要性．例5证明：三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点，此点称为三角形的旁心．已知：BX，CY分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，AZ为∠BAC的平分线(图3－115)，求证：AZ，BX，CY相交于一点．分析可仿照例1的思考方法，先证明BX，CY必交于一点M，然后证明M点在AZ上，则AZ，BX，CY必交于一点．以下请读者写出证明，并思考，为什么把点M叫作旁心，一个三角形有几个旁心？上面讲的是三角形中的五个巧合点，即为五心．下面举两个与